Σάββατο, 2 Σεπτεμβρίου 2017

2013 JBMO Shortlist G3 problem 2 (FYROM)


proposed by Stefan Lozanovski, Fyrom

Let ${ABC}$ be an acute triangle with ${AB<AC}$ and ${O}$ be the center of its circumcircle $\omega $. Let ${D}$ be a point on the line segment ${BC}$ such that $\angle BAD=\angle CAO$. Let ${E}$ be the second point of intersection of ${\omega}$ and the line$AD$. If ${M, N}$ and ${P}$ are the midpoints of the line segments ${BE, OD}$ and$\left[ AC \right]$ respectively, show that the points ${M, N}$ and ${P}$ are collinear.

posted in aops here



Έστω ${ABC}$ οξυγώνιο τρίγωνο με ${AB<AC}$ και ${O}$ το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του ${\omega.}$ Έστω ${D}$ σημείο πάνω στο ευθύγραμμο τμήμα ${BC}$ τέτοιο ώστε ${\angle BAD=\angle CAO.}$ Έστω ${E}$ το δεύτερο σημείο τομής του κύκλου ${\omega}$ και της ευθείας ${AD.}$ Αν ${M, N}$ και ${P}$ είναι τα μέσα των ευθυγράμμων τμημάτων ${BE, OD}$ και ${AC,}$ αντίστοιχα, να δείξετε ότι τα σημεία ${M, N}$ και ${P}$ είναι συνευθειακά.

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου