Σάββατο, 2 Σεπτεμβρίου 2017

2015 JBMO Shortlist G3 (GRE)


proposed by Evangelos Psychas, Greece


Let ${c\equiv c\left(O, R\right)}$ be a circle with center ${O}$ and radius ${R}$ and ${A, B}$ be two points on it, not belonging to the same diameter. The bisector of angle${\angle{ABO}}$ intersects the circle ${c}$ at point ${C}$, the circumcircle of the triangle $AOB$ , say ${c_1}$ at point ${K}$ and the circumcircle of the triangle $AOC$ , say ${{c}_{2}}$ at point ${L}$. Prove that point ${K}$ is the circumcircle of the triangle $AOC$ and that point ${L}$ is the incenter of the triangle $AOB$. 

posted in aops here 

Έστω ${c\equiv c\left(O, R\right)}$ κύκλος με κέντρο το ${O}$ και ακτίνα ${R}$ και δύο σημεία του ${A, B}$, τα οποία δεν ανήκουν στην ίδια διάμετρο. Έστω ${c_1}$ ο περιγεγραμμένος στο τρίγωνο $\vartriangle AOB$ κύκλος και ${c_2}$ ο περιγεγραμμένος στο τρίγωνο $\vartriangle AOC$ κύκλος. Η διχοτόμος της γωνίας ${\angle{ABO}}$ τέμνει τον κύκλο ${c}$ στο σημείο ${C}$, τον κύκλο ${c_1}$ στο σημείο ${K}$ και τον κύκλο ${c_2}$ στο σημείο ${L}$. Να αποδείξετε ότι το σημείο ${K}$ είναι το περίκεντρο του τριγώνου $\vartriangle AOC$ και το σημείο ${L}$ είναι το έγκεντρο του τριγώνου $\vartriangle AOB$.



Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου