Σάββατο, 2 Σεπτεμβρίου 2017

2015 JBMO Shortlist G5 (ROM)

proposed by Ruben Dario and Leo Giugiuc, Romania

Let $ABC$ be an acute triangle with ${AB\neq AC}$. The incircle ${\omega}$ of the triangle  κύκλος  touches the sides ${BC, CA}$ and ${AB}$ at ${D, E}$ and ${F}$, respectively. The perpendicular line erected at ${C}$onto ${BC}$ meets ${EF}$at ${M}$, and similarly the perpendicular line erected at ${B}$onto ${BC}$ meets ${EF}$at${N}$. The line ${DM}$ meets ${\omega}$ again in ${P}$, and the line ${DN}$ meets ${\omega}$ again at ${Q}$. Prove that ${DP=DQ}$.

posted in aops here

Έστω $\vartriangle ABC$ ένα οξυγώνιο τρίγωνο με ${AB\neq AC}$. Ο εγγεγραμμένος στο τρίγωνο $\vartriangle ABC$ κύκλος ${\omega}$ συναντά τις πλευρές ${BC, CA}$ και ${AB}$ στα σημεία ${D, E}$ και ${F}$, αντίστοιχα. Η κάθετη ευθεία στην ${BC}$ στο σημείο ${C}$ τέμνει την ${EF}$ στο σημείο ${M}$ και η κάθετη ευθεία στην ${BC}$ στο σημείο ${B}$ τέμνει την ${EF}$ στο σημείο ${N}$. Η ευθεία ${DM}$ τέμνει τον κύκλο ${\omega}$ ξανά στο σημείο ${P}$ και η ευθεία ${DN}$ τέμνει τον κύκλο ${\omega}$ ξανά στο σημείο ${Q}$. Να αποδείξετε ότι ${DP=DQ}$.

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου