Σάββατο, 2 Σεπτεμβρίου 2017

2016 JBMO Shortlist G1 (GRE)


proposed by Evangelos Psychas, Greece

Let ${ABC}$ be an acute angled triangle, let ${O}$be its circumcentre, and let ${D,E,F}$ be points on the sides ${BC,CA,AB}$, respectively. The circle ${(c_1)}$ of radius ${FA}$, centred at ${F}$, crosses the segment ${OA}$ at ${A'}$ and the circumcircle ${(c)}$ of the triangle ${ABC}$again at ${K}$. Similarly, the circle ${(c_2)}$ of radius $DB$, centred at $D$, crosses the segment $\left( OB \right)$ at ${B}'$ and the circle ${(c)}$ again at ${L}$. Finally, the circle ${(c_3)}$ of radius $EC$, centred at $E$, crosses the segment $\left( OC \right)$at ${C}'$ and the circle ${(c)}$ again at ${M}$. Prove that the quadrilaterals $BKF{A}',CLD{B}'$ and \[AME{C}'\] are all cyclic, and their circumcircles share a common point.

posted in aops here



Δίνεται ένα οξυγώνιο τρίγωνο ${ABC}$ με περίκεντρο ${O}$ και έστω ${D,E,F}$ σημεία των πλευρών ${BC,CA,AB}$ αντίστοιχα. Ο κύκλος ${(c_1)}$ με ακτίνα ${FA}$ και κέντρο ${F}$, τέμνει την ${OA}$ στο ${A'}$ και τον περιγεγραμμένο κύκλο ${(c)}$ του ${ABC}$ στο ${K}$.  Όμοια ορίζονται κύκλοι ${(c_2)}$, ${(c_3)}$ και τα σημεία ${B',C'}$ και ${L}$ και ${M}$ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι τα τετράπλευρα ${BKFA', CLDB', AMEC'}$ είναι όλα εγγράψιμα και οι περιγεγραμμένοι κύκλοι τους περνούν από κοινό σημείο.

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου