Σάββατο, 2 Σεπτεμβρίου 2017

2016 JBMO Shortlist G5

Let $ABC$ be an acute angled triangle with orthocenter ${H}$ and circumcenter ${O}$.       Assume the circumcenter ${X}$ of ${BHC}$lies on the circumcircle of ${ABC}$. Reflect O across ${X}$ to obtain ${O'}$, and let the lines ${XH}$and ${O'A}$ meet at ${K}$. Let $L,M$ and $N$ be the midpoints of $\left[ XB \right],\left[ XC \right]$] and $\left[ BC \right]$, respectively. Prove that the points $K,L,M$ and ${K,L,M,N}$ are cocyclic.

posted in aops here

Έστω $ABC$ ένα οξυγώνιο τρίγωνο με ορθόκεντρο ${H}$ και περίκεντρο ${O}$. Υποθέτουμε ότι το περίκεντρο ${X}$ του ${BHC}$ ανήκει στον περιγεγραμμένο κύκλο του ${ABC}$. Ονομάζουμε ${O'}$ το συμμετρικό του ${O}$ ως προς το ${X}$ και έστω ότι οι ευθείες ${XH}$ και ${O'A}$ τέμνονται στο x . Αν  είναι τα μέσα των  να αποδείξετε ότι τα σημεία  είναι ομοκυκλικά.

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου