Σάββατο, 2 Σεπτεμβρίου 2017

2016 JBMO Shortlist G7 (CYP)


 proposed byTheoklitos Paragyiou, Cyprus

Let ${AB}$ be a chord of a circle ${(c)}$ centered at ${O}$, and let ${K}$ be a point on the segment ${AB}$  such that ${AK<BK}$. Two circles through ${K}$, internally tangent to ${(c)}$ at ${A}$ and ${B}$, respectively, meet again at ${L}$. Let ${P}$ be one of the points of intersection of the line ${KL}$and the circle ${(c)}$,  and let the lines ${AB}$and ${LO}$meet at ${M}$. Prove that the line ${MP}$is tangent to the circle ${(c)}$.

posted in aops here

Έστω ${AB}$ μία χορδή κύκλου ${(c)}$ κέντρου ${O}$, και ${K}$ ένα σημείο του τμήματος ${AB}$ ώστε ${AK<BK}$. Δύο κύκλοι περνούν από το ${K}$, εφάπτονται εσωτερικά του ${(c)}$ στα ${A}$ και ${B}$, αντίστοιχα, και τέμνονται για δεύτερη φορά στο ${L}$. Αν ${P}$ είναι ένα από τα σημεία τομής της ${KL}$ με τον ${(c)}$ και οι ${AB}$ και ${LO}$ τέμνονται στο ${M}$, να αποδείξετε ότι η ${MP}$ εφάπτεται του κύκλου ${(c)}$.

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου