Σάββατο, 2 Σεπτεμβρίου 2017

2017 BMO Problem 2 (GRE)


proposed by Evangelos Psychas and Silouanos Brazitikos, Greece


Consider an acute-angled triangle ABC with AB<AC and let ω be its circumscribed circle. Let tB and tC be the tangents to the circle ω at points B and C, respectively, and let L be their intersection. The straight line passing through the point B and parallel to AC intersects tC in point D. The straight line passing through the point C and parallel to AB intersects tB in point E. The circumcircle of the triangle BDC intersects AC in T, where T is located between A and C. The circumcircle of the triangle BEC intersects the line AB (or its extension) in S, where B is located between S and A. Prove that ST, AL, and BC are concurrent.




solved in aops here 


Έστω ABC οξυγώνιο τρίγωνο με AB<AC και έστω ω ο περιγεγραμμένος κύκλος του. Έστω tB και tC οι εφαπτόμενες του κύκλου ω στα σημεία B και C, αντίστοιχα, και  έστω L το σημείο τομής τους. Η ευθεία που διέρχεται από το σημείο B και είναι παράλληλη προς την AC τέμνει την tC στο σημείο D. Η ευθεία που διέρχεται από το σημείο C και είναι παράλληλη προς την AB τέμνει την tB στο σημείο E. Ο περιγεγραμμένος κύκλος στο τρίγωνο BDC τέμνει την πλευρά AC σε σημείο T, με το T να βρίσκεται ανάμεσα στα A και C. Ο περιγεγραμμένος κύκλος στο τρίγωνο BEC τέμνει την ευθεία AB σε σημείο S, με το B να βρίσκεται ανάμεσα στα A και S. Να αποδείξετε ότι οι ευθείες  STBC  και  AL  συντρέχουν.


Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου