Σάββατο, 2 Σεπτεμβρίου 2017

2009 JBMO Shortlist G5


Let ${A, B, C}$ and ${O}$ be four points in plane, such that $\angle ABC>{{90}^{{}^\circ }}$ and ${OA=OB=OC}$.Define the point ${D\in AB}$ and the line ${l}$ such that ${D\in l, AC\perp DC}$ and ${l\perp AO}$. Line ${l}$ cuts ${AC}$at ${E}$ and circumcircle of ${ABC}$ at ${F}$. Prove that the circumcircles of triangles ${BEF}$and ${CFD}$are tangent at ${F}$.

posted in aops here

Έστω ${A, B, C}$ και ${O}$ τέσσερα σημεία στο επίπεδο τέτοιαώστε $\angle ABC>{{90}^{{}^\circ }}$ και ${OA=OB=OC}$. Ορίζουμε σημείο ${D\in AB}$ και ευθεία ${l}$ έτσιώστε ${D\in l, AC\perp DC}$ και ${l\perp AO}$. Η ευθεία ${l}$ τέμνει την ${AC}$ στο σημείο ${E}$ και τον περιγεγραμμένο στο τρίγωνο ${ABC}$ κύκλο στο σημείο ${F}$. Να αποδείξετε ότι οι περιγεγραμμένοι στα τρίγωνα ${BEF}$ και ${CFD}$ κύκλοι, εφάπτονται στο σημείο ${F}$.

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου