Σάββατο, 2 Σεπτεμβρίου 2017

2012 JBMO Shortlist G6


Let ${O_1}$ be a point in the exterior of the circle ${c\left(O, R\right)}$ and let ${O_1N, O_1D}$ be the tangent segments from ${O_1}$ to the circle. On the segment ${O_1N}$ consider the point ${B}$ such that ${BN=R}$. Let the line from ${B}$ parallel to ${ON}$, intersect the segment ${O_1D}$ at ${C}$. If ${A}$ is a point on the segment ${O_1D}$, other than ${C}$ so that ${BC=BA=a}$, and if  ${c'\left(K, r\right)}$ is the incircle of the triangle ${{O}_{1}}AB$  find the area of $ABC$ in terms of $a,R,r$.

posted in aops here

Έστω ${O_1}$ ένα εξωτερικό σημείο του κύκλου ${c\left(O, R\right)}$ και έστω ${O_1N, O_1D}$ τα εφαπτόμενα τμήματα από το ${O_1}$ προς τον κύκλο ${\left(c\right)}$. Στο ευθύγραμμο τμήμα ${O_1N}$ θεωρούμε σημείο ${B}$ τέτοιο, ώστε ${BN=R}$. Από το ${B}$ φέρουμε παράλληλη προς την ${ON}$, η οποία τέμνει την ${O_1D}$ στο ${C}$. Το ${A}$ είναι σήμειο πάνω στην ${O_1D}$, διαφορετικό από το ${C}$, για το οποίο ισχύει ${BC=BA=a}$. Αν ${c'\left(K, r\right)}$ είναι ο εγγεγραμμένος στο τρίγωνο $\vartriangle {{O}_{1}}AB$ κύκλος, να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου $\vartriangle ABC$ συναρτήσει των ${a, R}$ και ${r}$.

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου