Σάββατο, 2 Σεπτεμβρίου 2017

2012 JBMO Shortlist G7 (ROM)

proposed by Flavian Georgescu, Romania

Let ${MNPQ}$ be a square of side length 1, and ${A, B, C, D}$ points on the sides $MN,NP,PQ$ and $QM$  respectively such that ${AC\cdot BD=\dfrac{5}{4}}$.  Can the set ${\left\{AB, BC, CD, DA\right\}}$ be partitioned into two subsets ${{S}_{1}}$and ${{S}_{2}}$ of two elements each such that both the sum of the elements of ${{S}_{1}}$and the sum of the elements of ${{S}_{2}}$ are positive integers?

posted in aops here 



Δίνεται μοναδιαίο τετράγωνο ${MNPQ}$ και έστω ${A, B, C, D}$ σημεία στις πλευρές του ${MN, NP, PQ, QM}$, αντίστοιχα τέτοιαώστε ${AC\cdot BD=\dfrac{5}{4}}$. Να εξετάσετε κατά πόσο το σύνολο ${\left\{AB, BC, CD, DA\right\}}$ μπορεί να διαμεριστεί σε δύο υποσύνολα ${S_1, S_2}$ με δύο στοιχεία το κάθε ένα από αυτά τέτοια, ώστε κάθε ένα από τα αθροίσματα των στοιχείων των ${S_1}$ και ${S_2}$ να είναι θετικοί ακέραιοι.

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου