Σάββατο, 2 Σεπτεμβρίου 2017

2013 JBMO Shortlist G6 (CYP)

posted by Theoklitos Paragyiou, Cyprus

Let ${P}$and ${Q}$be the midpoints of the sides ${BC}$and ${CD}$, respectively in a rectangle $ABCD$. Let ${K}$ and ${M}$be the intersections of the line ${PD}$with the lines ${QB}$and $QA$respectively, and let ${N}$ be the intersection of the lines ${PA}$and ${QB.}$. Let $X,Y$and  ${X,Y,Z}$be the midpoints of the segments , $AN,KN$and $AM$ respectively. Let ${l_1}$be the line passing through ${X}$and perpendicular to $MK,\,\,{{l}_{2}}$ be the line passing through ${Y}$and perpendicular to ${AM}$ and  ${l_3}$ the line passing through ${Z}$and perpendicular to ${KN.}$. Prove that the lines ${{l}_{1}},{{l}_{2}}$and  ${l_1,l_2,l_3}$are concurrent.

posted in aops here



Έστω ${P}$ και ${Q}$ τα μέσα των πλευρών ${BC}$ και ${CD}$ ενός ορθογωνίου ${ABCD,}$ αντίστοιχα. Έστω ${K}$ και ${M}$ τα σημεία τομής της ευθείας ${PD}$ με τις  ${QB}$ και ${QA,}$ αντίστοιχα, και ${N}$ το σημείο τομής των ευθειών ${PA}$ και ${QB.}$ Έστω ${X,Y,Z}$ τα μέσα των ευθυγράμμων τμημάτων ${AN,KN,AM,}$ αντίστοιχα. Έστω ${l_1}$ η ευθεία που περνά από το ${X}$ και είναι κάθετη στην ${MK,}$ ${l_2}$ η ευθεία που περνά από το ${Y}$ και είναι κάθετη στην ${AM}$ και ${l_3}$ η ευθεία που περνά από το ${Z}$ και είναι κάθετη στην ${KN.}$ Να δείξετε ότι   οι ${l_1,l_2,l_3}$ συντρέχουν.

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου