Σάββατο, 2 Σεπτεμβρίου 2017

2014 JBMO Shortlist G5


Let $ABC$ be a triangle with ${AB\ne BC}$; and let ${BD}$ be the internal bisector of $\angle ABC,\ $, $\left( D\in AC \right)$. Denote by ${M}$ the midpoint of the arc ${AC}$ which contains point ${B}$. The circumscribed circle of the triangle ${\vartriangle BDM}$ intersects the segment ${AB}$ at point ${K\neq B}$. Let ${J}$ be the reflection of ${A}$ with respect to ${K}$.  If ${DJ\cap AM=\left\{O\right\}}$, prove that the points ${J, B, M, O}$ belong to the same circle.

posted in aops here

Δίνεται τρίγωνο $\vartriangle ABC$ με $AB\ne BC$ και έστω ${BD}$ η εσωτερική διχοτόμος της γωνίας $\angle ABC,\ \ \left( D\in AC \right)$. Έστω, επίσης, ${M}$ το μέσον του τόξου $$ που περιέχει το σημείο ${B}$. Ο περιγεγραμμένος στο τρίγωνο $\vartriangle BDM$ κύκλος τέμνει το ευθύγραμμο τμήμα ${AB}$ στο σημείο ${K\neq B}$ και έστω ${J}$ το συμμετρικό του ${A}$ ως προς το σημείο ${K}$. Αν ${DJ\cap AM=\left\{O\right\}}$, να αποδείξετε ότι τα σημεία ${J, B, M, O}$ ανήκουν στον ίδιο κύκλο.

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου