Σάββατο, 2 Σεπτεμβρίου 2017

2014 JBMO Shortlist G6 (ROM)

proposed by Flavian Georgescu, Romania

Let ${ABCD}$ be a quadrilateral whose diagonals are not perpendicular and whose sides ${AB\nparallel CD}$ and ${AB\nparallel CD}$ are not parallel. Let ${O}$ be the intersection of its diagonals. Denote with ${H_1}$and ${H_2}$ the orthocenters of triangles $\vartriangle OAB$ and $\vartriangle OCD$, respectively. If ${M}$ and ${N}$ are the midpoints of the segment lines $\left[ AB \right]$ and $\left[ CD \right]$, respectively, prove that the lines ${H_1H_2}$ and ${MN}$are parallel if and only if $AC=BD$.
posted in aops here

Έστω ${ABCD}$ ένα τετράπλευρο με ${AB\nparallel CD}$ και έστω ${O}$ το σημείο τομής των διαγωνίων του. Ονομάζουμε ${H_1}$ και ${H_2}$ τα ορθόκεντρα των τριγώνων $\vartriangle OAB$ και $\vartriangle OCD$, αντίστοιχα. Αν ${M}$ και ${N}$ είναι τα μέσα των $AB$ και $CD$, αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι οι ευθείες ${MN}$ και ${H_1H_2}$ είναι παράλληλες αν και μόνον αν $AC=BD$.