Σάββατο, 2 Σεπτεμβρίου 2017

2015 JBMO Shortlist G2 (MOL)


proposed by Moldova

The point ${P}$ is outside the circle ${\Omega}$. Two tangent lines, passing from the point ${P}$ touch the circle ${\Omega}$ at the points ${A}$ and ${B}$. The median${AM \left(M\in BP\right)}$ intersects the circle ${\Omega}$ at the point ${C}$ and the line ${PC}$ intersects again the circle  ${\Omega}$ at the point ${D}$. Prove that the lines ${AD}$ and ${BP}$ are parallel. 

posted in aops here

Το σημείο ${P}$ βρίσκεται εκτός του κύκλου ${\Omega}$. Από το σημείο ${P}$ φέρουμε εφαπτόμενες ευθείες προς τον κύκλο ${\Omega}$, οι οποίες τον συναντούν στα σημεία ${A}$ και ${B}$. Η διάμεσος ${AM \left(M\in BP\right)}$ του τριγώνου $\vartriangle APB$ τέμνει τον κύκλο ${\Omega}$ στο σημείο ${C}$ και η ευθεία ${PC}$ τέμνει ξανά τον κύκλο ${\Omega}$ στο σημείο ${D}$. Να αποδείξετε ότι οι ευθείες ${AD}$ και ${BP}$ είναι παράλληλες μεταξύ τους. 

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου