Σάββατο, 2 Σεπτεμβρίου 2017

2017 JBMO Problem 3

official problem 3

Let ${ABC}$ be an acute triangle such that ${AB \neq AC}$, with circumcircle ${\Gamma}$ and circumcenter ${O}$. Let ${M}$ be the midpoint of ${BC}$and ${D}$ be a point on ${\Gamma}$ such that ${AD \perp BC}$. Let ${T}$ be a point such that ${BDCT}$is a parallelogram and ${Q}$a point on the same side of ${BC}$as ${A}$ such that ${ \angle BQM = \angle BCA}$ and ${ \angle CQM = \angle CBA}$. Let the line ${AO}$intersect ${\Gamma}$ at ${E}$, (${E \neq A}$) and let the circumcircle of ${ETQ}$intersect ${\Gamma}$ at point ${X \neq E}$. Prove that the points ${A,M}$ and ${X}$ are collinear.

posted in aops here

Δίνεται ${ABC}$ οξυγώνιο τρίγωνο τέτοιο ώστε ${AB \neq AC}$ και ${\Gamma}$ ο περιγεγραμμένος κύκλος του με κέντρο ${O}$. Έστω ${M}$ το μέσο του ${BC}$ και ${D}$ σημείο του ${\Gamma}$ τέτοιο ώστε ${AD \perp BC}$. Θεωρούμε ${T}$ ένα σημείο τέτοιο ώστε το ${BDCT}$ να είναι παραλληλόγραμμο και ${Q}$ ένα σημείο στο ημιεπίπεδο που ορίζεται από την ${BC}$ και περιέχει το ${A}$ τέτοιο ώστε ${ \angle BQM = \angle BCA}$ και ${ \angle CQM = \angle CBA}$.Αν η ευθεία ${AO}$ τέμνει τον ${\Gamma}$ στο ${E}$ (${E \neq A}$) και ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου ${ETQ}$ τέμνει τον ${\Gamma}$ στο σημείο ${X \neq E}$, να δείξετε ότι τα σημεία ${A,M}$ και ${X}$ είναι συνευθειακά.

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου