IMO 1959-1992 65p GR

ασκήσεις γεωμετρίας από Διεθνείς Μαθηματικές Ολυμπιάδες (International Mathematical Olympiad)


IMO Shortlist problems 2001 - 2016 EN in pdf with solutions
IMO Shortlist problems 1992 - 2000 EN in pdf with solutions, scanned
most of them by Orlando Döhring, 
member of the IMO ShortList / LongList Project Group, in aops


1959-1992
(συνεχίζεται)

1959 IMO Problem 4 (HUN)   (also)                                          
Να κατασκευάσετε ορθογώνιο τρίγωνο με δεδομένη υποτείνουσα c, έτσι ώστε η διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα να ισούται με τον γεωμετρικό μέσο των δυο κάθετων πλευρών του τριγώνου.

Θεωρούμε σημείο Μ εσωτερικό στο ευθυγράμμο τμήμα ΑΒ . Τα τετράγωνα AMCD και MBEF κατασκευάζονται προς το ίδιο μέρος του τμήματος AB με τα τμήματα ΑΜ και ΜΒ ως βάσεις τους, αντιστοίχως. Οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των δυο τετραγώνων με κέντρα P και Q, αντίστοιχα, τέμνονται εκτός του σημείου M και στο  σημείο Ν. Έστω Ν΄ το σημείο τομής των ευθειών AF και BC.
(a) Να αποδείξετε οτι τα σημεία Ν και Ν΄ συμπίπτουν.
(b) Να αποδείξετε οτι οι ευθείες MN διέρχονται από ένα σταθερό σημείο S ανεξάρτητο από την επιλογή του  M.
(c) Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των μέσων των τμημάτων PQ, καθώς το σημείο M μεταβάλλεται στο ΑB.

by Cezar Cosnita
1959 IMO Problem 6 (CZS)  (also)                                                  
Δυο επίπεδα P και Q τέμνονται κατά την ευθεία p . Το σημείο Α ανήκει στο επίπεδο P, ενώ το σημειο C ανήκει στο επίπεδο Q, χωρίς κανένα από τα A και C να ανήκει στην ευθεία p. Να κατασκευάσετε ισοσκελές τραπέζιο ABCD  με AB // CD,  στο οποίο να μπορεί να εγγραφεί ένας κύκλος και του οποίου οι κορυφές B και D να ανήκουν στα επίπεδα P και Q , αντιστοίχως.

Σε δεδομένο ορθογώνιο τρίγωνο ABC, η υποτείνουσα BC μηκους a, διαιρείται σε n ίσα τμήματα, όπου n περιττός ακέραιος. Έστω ω η γωνία υπό την οποία φαίνεται απο την κορυφή εκείνο το τμήμα, από αυτά που ορίζουμε στην υποτείνουσα, που περιέχει το μέσον της υποτείνουσας. Αν h είναι το ύψος του τριγώνου προς την υποτείνουσα, να αποδείξετε οτι : $\varepsilon \varphi \omega =\frac{4nh}{\left( {{n}^{2}}-1 \right)\alpha }$

by Gheorghe D. Simionescu
Να κατασκευάσετε τρίγωνο ABC, όταν δίνονται τα ύψη του h­­a , hb (από A και B) και η διάμεσος ma  (από την κορυφή  A).

Δίνεται ο κύβος  ABCDA'B'C'D' (με την πλευρά ABCD ακριβώς πάνω από την A'B'C'D').
(a) Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των μέσων των τμημάτων XY , όπου X είναι οποιοδήποτε σημείο του  AC και Y οποιοδήποτε σημείο του B'D'.
(b) Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Z που ανήκουν στα τμήματα XY του ερωτήματος (a), τέτοια ώστε  ΖΥ = 2 ΧΖ .

1960 IMO Problem 7 (BUL)                                                     
Δίνεται ισοσκελές τραπέζιο με βάσεις a και b και ύψος h.
(α) Πάνω στον άξονα συμμετρίας του τραπεζίου, να βρείτε όλα τα σημεία P, τέτοια ώστε και τα δυο πόδια του τραπεζίου να φαίνονται από το P υπό ορθές γωνίες.
(b) Υπολογίστε την απόσταση του P από κάθε βάση.
(c) Καθορίστε υπό ποιες προϋποθέσεις, τέτοια σημεία P, πραγματικά υπάρχουν. (Εξετάστε διάφορες περιπτώσεις που μπορεί να συμβούν)

Θεωρούμε τρίγωνο P1P2P3  και σημείο P εντός του τριγώνου. Οι ευθείες P1P , P2P ,  P3P τέμνουν τις απέναντι πλευρές στα σημεία Q1, Q2, Q3 αντίστοιχα. Να αποδείξετε οτι, από τους αριθμούς ${\frac{{{P}_{1}}P}{P{{Q}_{1}}},\frac{{{P}_{2}}P}{P{{Q}_{2}}},\frac{{{P}_{3}}P}{P{{Q}_{3}}}}$ τουλάχιστον ένας είναι     2 και τουλάχιστον ένας είναι  ≥ 2.

Να κατασκευάσετε τρίγωνο ABC, αν AC = b, AB = c και <AMB = ω, όπου Μ είναι το μέσο του τμήματος BC και ω < 90­o. Να αποδείξετε οτι η κατασκευή είναι δυνατή αν, και μόνο αν, $b\varepsilon \varphi \frac{\omega }{2}\le c<b$.  Σε ποια περίπτωση ισχύει η ισότητα;

Θεωρούμε ένα επίπεδο  ε  και τρια μη συγγραμικά σημεία A, B, C προς το ίδιο μέρος του ε; τέτοια ώστε το επίπεδο που ορίζουν τα  A, B, C δεν είναι παράλληλο προς το  ε. Πάνω στο επίπεδο θεωρήστε τρία συμβατικά σημεία A΄, B΄, C΄ ώστε τα μέσα L, M, N των AA΄, BB΄, CC΄΄ να σχηματίζουν τρίγωνο. Έστω G το κέντρο βάρους του τριγώνου LMN. Ποιος είναι ο γεωμετρικός τόπος του σημείου G κατά την κίνηση των A΄, B΄, C΄ πάνω στο επίπεδο ε ;

by Gheorghe D. Simionescu 
Θεωρούμε τον κύβο BCDA΄B΄C΄D΄ (που οι ABCD και A΄B΄C΄D΄ είναι η πάνω και κάτω βάση αντίστοιχα, ενώ οι ακμές AA΄, BB΄, CC΄, DD΄ είναι μεταξύ τους παράλληλες). Το σημείο X κινείται με σταθερή ταχύτητα κατά μήκος της περιμέτρου του τετραγώνου ABCD κατά τη διεύθυνση ABCDA, και το σημείο Y κινείται με τον ίδιο ρυθμό κατά μήκος της περιμέτρου του τετραγώνου B΄C΄CB κατά την διεύθυνση B΄C΄CB΄Β. Τα σημεία X και Y ξεκινούν την κίνηση τους την ίδια χρονική στιγμή από τα σημεία Α και Β αντίστοιχα. Να προσδιορίσετε και να χαράξετε τον γεωμετρικό τόπο των μέσων των ευθυγράμμων τμημάτων ΧΥ.

Έστω A,B,C τρια διαφορετικά σημεία ενός κύκλου Κ. Να προσδιορίσετε ένα σημείο D του K τέτοιο ώστε ένας κύκλος να μπορεί να εγγραφεί στο εσωτερικό του ABCD.

Η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου ενός ισοσκελούς τριγώνου είναι r, ενώ του εγγεγραμμένου είναι ρ.  Να αποδείξετε οτι η απόσταση μεταξύ των κέντρων των δύο κύκλων είναι 
$d=\sqrt{r(r-2p)}$

Το τετράεδρο SABC έχει την ακόλουθη ιδιότητα: υπάρχουν πέντε σφαίρες, που η καθεμία εφάπτεται στις ακμές SA, SB, SC, BC, CA, AB ή στις προεκτάσεις τους.
(a) Να αποδείξετε οτι το τετράεδρο SABC είναι κανονικό.
(b) Να αποδείξετε αντίστροφα οτι σε κάθε κανονικό τετράεδρο υπάρχουν πέντε σφαίρες με την παραπάνω ιδιότητα.

Δίνεται σημείο Α και ευθύγραμμο τμήμα BC. Να προσδιορίσετε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων του χώρου, τα οποία είναι κορυφές ορθών γωνιών με μια πλευρά που περνάει από το Α και η άλλη τους πλευρά τέμνει το τμήμα BC.

Σε ένα ν-γωνο του οποίου όλες οι εσωτερικές γωνίες είναι ίσες, τα μήκητων διαδοχικών πλευρών του ικανοποιουν τις σχέσεις  α1  α2  ≥ ... ≥ αn . Να αποδείξετε οτι α1 =  α2  = ... = αn .

Ένας κύκλος είναι εγγεγραμμμένος στο τρίγωνο ABC με πλευρές a, b, c. Φέρουμε εφαπτόμενες του κύκλου παράλληλες προς τις πλευρές του τριγώνου και κάθε μια από αυτές αποκόπτει ένα τρίγωνο από το τρίγωνο ABC. Σε καθένα από αυτά τα τρίγωνα θεωρούμε τον εγγεγραμμένο κύκλο του. Να βρείτε το άθροισμα των τεσσάρων εγγεγραμμένων κύκλων συναρτήσει των πλευρών a,b,c

Σε τετράεδρο ABCD συνδέουμε την κορυφή D με το κέντρο βάρους Do του τριγώνου ABC. Από τις κορυφές A,B,C φέρουμε ευθείες παράλληλες προς την DDo , οι οποίες τέμνουν τα επίπεδα BCD, CAD και ABD στα σημεία A­1, B­1 και C­1, αντιστοίχως. Να αποδείξετε οτι ο όγκος του τετραέδρου ισούται με το 1/3 του όγκου του τετράεδρου  A­1B­1C­1D­o. Ισχύει το ίδιο συμπέρασμα, όταν το Do  είναι τυχαίο εσωτερικό σημείο του τριγώνου ABC;

Δίνεται τετράεδρο ABCD του οποίου οι ακμές AB και CD έχουν μήκη a και b, αντιστοίχως. Η απόσταση AB και CD είναι d και η γωνία τους είναι ω. Το τετράεδρο ABCD διαιρείται σε δυο στερεά από επίπεδο ε, παράλληλο προς τις ευθείας AB και CD. Ο λόγος των αποστάσεων του ε από τις AB και CD είναι k.  Να υπολογίσετε τον λόγο των όγκων των δυο λαμβανόμενων στερεών.

Θεωρούμε τρίγωνο ΟΑΒ με οξεία γωνία την ΑΟΒ. Από ένα σημείο MO φέρνουμε κάθετες προς τις πλευρές ΟΑ και ΟΒ τις MP και MK αντίστοιχα. Έστω Η το ορθόκεντρο του τριγώνου ΟΡΚ. Ποιος είναι ο γεωμετρικός τόπος του Η:
(a) αν το Μ κινείται στην πλευρά AB;
(b) αν το Μ κινείται στο εσωτερικό του τριγώνου ΟΑΒ;

by Gheorghe D. Simionescu
Να αποδείξετε οτι το άθροισμα των αποστάσεων των κορυφών ενός κανονικού τετραέδρου από το κέντρο της περιγεγραμμένης σφαίρας είναι μικρότερο από το άθροισμα των αποστάσεων αυτών των κορυφών από οποιοδήποτε άλλο σημείο του χώρου.

Σε τρίγωνο ABC παίρνουμε τα σημεία K, L, M τυχαία επάνω στις πλευτές BC, CA, AB αντίστοιχα, έτσι ώστε κανέναν από αυτά να μην συμπίπτει με τις κορυφές του τριγώνου. Αποδείξτε οτι το εμβαδόν ενός τουλάχιστον των τριγώνων AML, BKM, CLK είναι μικρότερο ή ίσο από το ¼ του εμβαδού του τριγώνου.

Εστω  ABCD παραλληλόγραμμο με μήκη πλευρών AB = α, AD = 1, και με γωνία  <BAD = ω. Αν το τρίγωνο ABD είναι οξυγώνιο, να αποδείξετε οτι οι τέσσερις κύκλοι με κέντρα A,B,C,D  και ακτίνα 1 καλύπτουν το παραλληλόγραμμο, αν και μόνο αν,  $a\le \cos \omega +\sqrt{3}\sin \omega$.

Να αποδείξετε οτι, αν μια πλευρά (ακμή) ενός τετραέδρου είναι μεγαλύτερη του 1, τότε ο όγκος του είναι 1 / 8 .

Έστω Ao BoCo και  A1B1C1 δυο οξυγώνια τρίγωνα. Να θεωρήσετε όλα τα τρίγωνα τα οποία είναι όμοια προς το  A1B1C1 (A, B, C και A1,B1,C1 είναι οι κορυφές που αντιστοιχούν στις ομόλογες πλευρές) και περιγράφονται γύρω από το τρίγωνο Ao BoCo (όπου Ao  βρίσκεται πάνω στην BC, Bo  πάνω στην CA και Co πάνω στην AB) . Απ’  όλα αυτά τα τρίγωνα, να προσδιορίσετε αυτό με το μεγαλύτερο εμβαδό και να το κατασκευάσετε.

by Tullio Viola
Να αποδείξετε οτι σε κάθε τετράεδρο υπάρχει μια κορυφή, ώστε οι ακμές που συναντώνται σε αυτήν έχουν μήκη, όσο οι πλευρές ενός τριγώνου.

Για κάθε τιμή του k =1,2,3,4,5 βρείτε αναγκαίες και ικανές συνθήκες για τον αριθμό a > 0 έτσι ώστε να υπάρχει ένα τετράεδρο με k ακμές μήκους a, και με τις υπόλοιπες ακμές 6-k μήκους 1.

Θεωρούμε ημικύκλιο γ , διαμέτρου ΑΒ. Αν C είναι σημείο του ημικυκλίου γ,  φέρνουμε   CD κάθετη στην  AB. Κατασκευάζουμε τρεις κύκλους γ1, γ2, γ3, όλους εφαπτόμενους στην ΑΒ. Από αυτούς ο γ1 είναι εγγεγραμμένους στο τρίγγωνο ABC, ο γ2 εφάπτεται επίσης της CD και του τόξου AC και  ο γ3 εφάπτεται της CD και του τόξου CB. Να αποδείξετε οτι οι τρεις κύκλοι γ1, γ2, γ3, έχουν μια δεύτερη κοινή εφαπτομένη, εκτός της ΑΒ.

Έστω M ένα σημείο της πλευράς AB, τριγώνου ΑΒC. Έστω r1, r2  και  r οι ακτίνες των εγγεγραμμένων κύκλων των τριγώνων AMC, BMC και ABC. Έστω q1, q2  και q οι ακτίνες των παρεηγεγραμμένων κύκλων των ίδιων τριγώνων που βρίσκονται μέσα στην γωνία <ACB. Αποδείξτε ότι   $\frac{{{r}_{1}}}{{{q}_{1}}}\cdot \frac{{{r}_{2}}}{{{q}_{2}}}=\frac{r}{q}$
Στο τετράεδρο ABCD, η γωνία <BDC είναι ορθή. Υποθέτουμε οτι το ίχνος Η του ύψους από την κορυφή D στο τρίγωνο ABC είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου αυτού. Αποδείξτε οτι   (AB + BC + CA)2 6 (AD2 + BD2 + CD2). Για ποια τετράεδρα ισχύει η ισότητα;

Θεωρούμε ένα κυρτό πολύεδρο P1 με εννέα κορυφές A1A2, ... ,A9. Έστω Pi το πολύεδρο που δημιουργείται από το P1 με μια μεταφορά η οποία μεταφέρει την κορυφή Α1 στην Ai (i = 2, 3, ... ,9). Να αποδείξετε οτι τουλάχιστον δυο από τα πολύεδρα P1,P2, … , P9 έχουν ένα κοινό εσωτερικό σημείο.

Όλες οι έδρες ενός τετραέδρου ABCD είναι οξυγώνια τρίγωνα. Θεωρούμε όλες τις κλειστές πολυγωνικές γραμμές XYZTX που καθορίζονται ως εξής: Το X είναι ένα σημείο της ακμής AB διαφορετικό των Α,Β και αντίστοιχα τα Y,Z,T είναι εσωτερικά σημεία των ακμών BC,CD,DA. Αποδείξτε οτι
(a) Αν <DAB + <BCD ≠ <CDA + <ABC, τότε μεταξύ των πολυγωνικών γραμμών δεν υπάρχει καμία με ελάχιστο μήκος.
(b) If <DAB + <BCD = <CDA + <ABC, τότε υπάρχουν πολλές πολυγωνικές γραμμές με ελάχιστο μήκος 2AC sin(a/2),  όπου a = <BAC + <CAD + <DAB.

Να αποδείξετε οτι, αν n4, κάθε τετράπλευρο εγγράψιμο σε κύκλο, μπορεί να διαιρεθεί σε n τετράπλευρα καθένα από τα οποία είναι εγγράψιμο σε κύκλο.

Δίνονται τέσσερα διαφορετικά παράλληλα επίπεδα. Να αποδείξετε οτι υπάρχει κανονικό τετράεδρο που έχει μια κορυφή σε κάθε επίπεδο.

Να εξετάσετε αν υπάρχει ή όχι ένα πεπερασμένο σύνολο σημείων M στο χώρο που δεν βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και είναι τέτοια ώστε για οποιαδήποτε δυο σημεία Α και Β του Μ, μπορούμε να βρούμε δυο άλλα σημεία C και D του Μ έτσι ώστε οι ευθείες AB και CD να είναι παράλληλες, χωρίς να συμπίπτουν.

Ένας στρατιώτης πρέπει να ελέγξει ως προς την ύπαρξη ναρκών ένα χωριό σχήματος ισοπλεύρου τριγώνου. Η ακτίνα δράσης του ανιχνευτή ναρκών που διαθέτει ισούται με το μισό του ύψους του τριγώνου. Αν ο στρατιώτης ξεκινάει από μια κορυφή του τριγώνου, να βρεθεί η διαδρομη που πρέπει να ακολουθήσει για να εκτελέσει την αποστολή του, διανύοντας το ελάχιστο δυνατό διάστημα.

by Ðorde Dugošija
Στις πλευρές ενός τριγώνου ABC  κατασκευάζουμε τρίγωνα ABR, BCP, CAQ προς το εξωτερικό του τριγώνου έτσι ώστε <CBP = <CAQ = 450  , <BCP = <ACQ = 300, <ABR = <BAR = 15­­0 . Να αποδείξετε οτι  <QRP = 900 και  QR = RP.

by Jan van de Craats
Σε ένα επίπεδο κυρτό τετράπλευρο εμβαδού 32, το άθροισμα των μηκών δυο απέναντι πλευρών του και μιας διαγωνίου είναι 16. Να προσδιορίσετε όλα τα δυνατά μήκη της άλλης διαγωνίου.

Μέσα στο τετράγωνο ABCD κατασκευάζουμε ισόπλευρα τρίγωνα ABK,BCL,CDM  και DAN. Να αποδείξετε οτι τα μέσα των τεσσάρων τμημάτων KL, LM, MN, NK και τα μέσα των οκτώ τμημάτων AK,BK,BL,CL,CM,DM,DN,AN είναι οι  δώδεκα κορυφές ενός κανονικού δωδεκαγώνου.

by Jan van de Craats
To P είναι ένα σημείο μέσα σε μια σφαίρα.  Τρεις αμοιβαίως κάθετες ευθείες από το P τέμνουν την σφαίρα στα σημεία U, V και W. Το Q υποδηλώνει την κορυφή διαγωνίως απέναντι από το P στο παραλληλεπίπεδο που προσδιορίζεται από τα PU, PV, PW. Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του Q, για όλες τις δυνατές τριάδες τέτοιων ημιευθειών από το P.

by Murray Klamkin
Έστω ισοσκελές τρίγωνο ABC (AB=AC) . Θεωρούμε κύκλο εφαπτόμενο εσωτερικά στον  περιγεγραμμένο κύκλο και ταυτόχρονα στις AB, ΑC στα P,Q αντίστοιχα. Δείξτε οτι το μέσο του PQ ταυτίζεται με το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου στο τρίγωνο.

by Murray Klamkin
Έστω δυο τεμνόμενοι κύκλοι του αυτού επιπέδου. Το Α είναι το ένα απο τα σημεία τομής. Με αφετηρία το Α ξεκινούν ταυτόχρονα δυο σημεία κινούμενα με σταθερή ταχύτητα, το καθένα κατά μήκος του δικού του κύκλου με την ίδια φορά. Τα δυο σημεία επιστρέφουν στο Α ταυτόχρονα μετά από μια περιστροφή. Να αποδείξετε οτι υπάρχει ένα σταθερό σημείο P του επιπέδου έτσι ώστε τα δυο σημεία να ισαπέχουν πάντα από το P.

by Nikolai Vasil'ev and Igor F. Sharygin
Δίνεται ένα επίπεδο (π), ένα σημείο P του επιπέδου (π) και ένα σημείο Q που δεν ανήκει στο επίπεδο (π). Βρείτε όλα τα σημεία R του επιπέδου (π) , που  είναι τέτοια ώστε ο λόγος         $\frac{QP+PR}{QR}$ να λαμβάνει την μέγιστη δυνατή τιμή.
by Murray Klamkin
To P είναι ένα σημείο μέσα στο τρίγωνο ABC. Τα D,E,F είναι τα ίχνη των καθέτων από το P στις ευθείες BC, CA, AB αντίστοιχα. Βρείτε όλα τα P για τα οποία το άθροισμα  $\frac{BC}{PD}+\frac{CA}{PE}+\frac{AB}{PF}$ γίνεται ελάχιστο.

by David Monk
Τρεις κύκλοι ίσων ακτινών έχουν κοινό σημείο Ο και ευρίσκονται μέσα σε δεδομένο τρίγωνο. Ο κάθε ένας κύκλος εφάπτεται σε ένα ζεύγος πλευρών του τριγώνου. Να αποδείξετε οτι το κέντρο του εγγεγραμμένου στο τρίγωνο κύκλου, του περιγεγραμμένου στο τρίγωνο κύκλου και το Ο βρίσκονται στην ίδια ευθεία.

­
Έστω A1A2A3  ­­  (Ai με i=1,2,3) μη ισοσκελές τρίγωνο με πλευρές  a1, a2, a3   (ai με i=1,2,3) με ai αντικείμενη πλευρά στην κορυφή Ai. Έστω επίσης Mi το μέσο της πλευράς ai, και  Ti το σημείο επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου με την πλευρά  ai. Έστω, τέλος, Si το συμμετρικό του  Ti ως προς την εσωτερική διχοτόμο της γωνίας  Ai. Να δειχθεί οτι οι ευθείες M1S1, M2S2 , M3S3  συντρέχουν.

by Jan van de Craats
Οι διαγώνιοι AC και CE του κανονικού εξαγώνου ABCDEF χωρίζονται από τα εσωτερικά σημεία Μ και Ν αντίστοιχα, έτσι ώστε $\frac{AM}{AC}=\frac{CN}{CE}=r$. Να προσδιρίσετε το r, αν τα B, M και Ν είναι συνευθειακά.

by Jan van de Craats
Έστω οτι το Α είναι ένα από τα σημεία τομής δυο άνισων συνεπίπεδων κύκλων C1 και C2, με κέντρα O1  , O2, αντιστοίχως. Η μια από τις κοινές εφαπτόμενες των δύο κύκλων εφάπτεται του C1  στο P1  και του C2  στο P2 ­, ενώ η άλλη εφάπτεται του C1  στο Q1  και του C2  στο Q2. Έστω οτι  Μ1 είναι το μέσο των P1Q1 και Μ2  του P2Q2. Δείξτε οτι <O1AO2  = <M1AM2.

by Igor F. Sharygin
Έστω οτι το ABC είναι ενα ισόπλευρο τρίγωνο και το E το σύνολο όλων των σημείων που περιέχονται στα τρία τμήματα AB, BC και CA (συμπεριλαμβανομένων των A,B και C). Να εξετάσετε αν, για κάθε διαμέριση του Ε σε δυο ξένα υποσύνολα, τουλάχιστον ένα απο τα δυο υποσύνολα περιέχει τις κορυφές ενός ορθογωνίου τριγώνου.

Έστω οτι ABCD είναι ένα κυρτό τετράπλευρο με την ευθεία CD εφαπτομένη στον κύκλο με διάμετρο AB. Να αποδείξετε οτι η ευθεία AB είναι εφαπτομένη στον κύκλο με διάμετρο CD, αν και μόνο αν, οι BC και AD είναι παράλληλοι.

by Laurentiu Panaitopol
Ένας κύκλος έχει κέντρο στην πλευρά ΑΒ του εγγεγραμμένου τετραπλέυρου ABCD του οποίου οι άλλες τρεις πλευρές είναι εφαπτόμενες στον κύκλο. Να αποδείξετε οτι   AD + BC = AB.

by Frank Budden
Ένας κύκλος κέντρου Ο περνάει από τις κορυφές A και C του τριγώνου  ABC και τέμνει τα τμήματα ΑΒ και BC πάλι σε διακεκριμένα σημεία K και N αντίστοιχα. Οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των ABC και KBN τέμνονται σε ακριβώς δυο διακεκριμένα σημεία B και M. Να αποδείξετε οτι η γωνία <OMB είναι ορθή.

by Igor F. Sharygin
Έστω ένα τρίγωνο A1A2A3 και ένα σημείο P0 στο ίδιο επίπεδο. Έστω As = As-3 για κάθε s4. Κατασκευάζουμε τα σημεία P1, P2, P3, . . . , έτσι ώστε το σημείο Pk+1 να είναι η εικόνα του σημείου Pk μετά από μια στροφή κατά 120o σύμφωνα με την φορά των δεικτών του ρολογίου με κέντρο το Ak+1 , για k = 0, 1, 2, . . . . Αν P1986 = P0, να αποδείξετε οτι το τρίγωνο  A1A2A3  είναι ισόπλευρο.

 by Gengzhe Chang and Dongxu Qi
Έστω Α,Β δυο διαδοχικές κορυφές ενός κανονικού n-γώνου (n5) με κέντρο Ο. Ένα τρίγωνο XYZ το οποίο είναι ίσο και αρχικά συμπίπτει με το ΟΑΒ, κινείται στο επίπεδο με τέτοιο τρόπο ώστε τα σημεία Υ,Ζ να βρίσκονται στην περιφέρεια του n-γώνου και το σημείο X να βρίσκεται στο εσωτερικό του. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του Χ.

by Sven Sigurðsson
Σε ένα οξυγώνιο τρίγωνο ABC η εσωτερική διχοτόμος της γωνίας <Α τέμνει την BC στο L και τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου ABC στο Ν.  Από το L φέρνουμε κάθετες προς τις AB, AC και έστω K, M τα ίχνη τους. Να αποδείξετε οτι το τετράπλευρο AKNM και το τρίγωνο ABC έχουν ίσα εμβαδά.

by I.A. Kushnir
Θεωρούμε δυο ομόκεντρους κύκλους στο επίπεδο με ακτίνες R και r, όπου R > r.  Έστω P ένα σταθερό σημείο του μικρού κύκλου και B ένα μεταβλητό στοιχείο του μεγάλου κύκλου. Η ευθεία BP τέμνει τον μεγάλο κύκλο  ξανά στο C. Η κάθετος της BP στο P τέμνει τον μικρό κύκλο ξανά στο A. (Αν είναι εφαπτομένη του κύκλου τότε Α ≡ P)
(a) Να βρείτε όλες τις δυνατές τιμές της παράστασης BC­­2 + CA­­2 + AB­­2.
(b) Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του μέσου του BC.                                    

by Lucien Kieffer
Έστω ABCένα τρίγωνο με <Α =90ο , και έστω D το ίχνος του ύψους από το Α. Η ευθεία που ενώνει τα έκκεντρα των τριγώνων ABD, ACD τέμνει τις πλευρές AB,AC στα σημεία K,L αντίστοιχα. Να αποδείξετε οτι το εμβαδόν του τριγώνου ABC είναι τουλάχιστον διπλάσιο από αυτό του AKL.

by Dimitris Kontogiannis
Έστω ΑΒC ένα οξυγώνιο τρίγωνο. Οι εσωτερικές διχοτόμοι των γωνιών Α,Β,C τέμνουν τον περιγεγραμμένο κύκλο του ABC στα σημεία Α1, Β1 ,Cαντίστοιχα. Έστω Αο το σημείο τομής των ευθειών ΑΑ1 με τις εξωτερικές διχοτόμους των γωνιών Β, C και αντιστοίχως ορίζουμε τα Bο ,Cο.  Να αποδείξετε οτι το εμβαδόν του τριγώνου ΑοBοCο:
(a) είναι διπλάσιο του εμβαδούν του εξαγώνου  ΑC1BA1CB1
(b) τουλάχιστον τέσσερις φορές μεγαλύτερο του εμβαδού του τριγώνου ABC.

by Esther Szekeres
Έστω ABCD ένα κυρτό τετράπλευρο με AB  = AD + ΒC. Αν P είναι ένα εσωτερικό σημείο του ABCD το οποίο απέχει απόσταση h απο την ευθεία CD και AP = h + AD και  BP = h + BC. Να αποδείξετε οτι  $\frac{1}{\sqrt{h}}\ge \frac{1}{\sqrt{AD}}+\frac{1}{\sqrt{BC}}$

by Eggert Briem
Οι χορδές AB και CD ενός κύκλου τέμνονται στο σημείο E στο εσωτερικό του κύκλου. Έστω Μ ένα εσωτερικό σημείο του ευθυγράμμου τμήματος ΕΒ. Η εφαπτομένη στο Ε του κύκλου που διέρχεται από τα σημεία D,E,M  τέμνει στις ευθείες BC,AC στα σημεία F και G αντίστοιχα. Να υπολογίσετε τον λόγο $\frac{EF}{EG}$  ως συνάρτηση του $t=\frac{AM}{AB}$.

by C.R. Pranesachar
Έστω Ι το έγκεντρο ενός τριγώνου ABC. Οι εσωτερικές διχοτόμοι των γωνιών A, B, C τέμνουν τις απέναντι πλευρές στα σημεία A΄, B΄, C΄ αντίστοιχα. Να αποδείξετε οτι $\frac{1}{4}<\frac{AI\cdot BI\cdot CI}{AA'\cdot BB'\cdot CC'}\le \frac{8}{27}$

by Arkadii Skopenkov
Έστω ABC ένα τρίγωνο και P ένα εσωτερικό του σημείο. Να αποδείξετε οτι τουλάχιστον μια από τις γωνίες <PAB, <PBC, <PCA είναι μικρότερη ή ίση με 300.

by Johan Yebbou
Έστω μια ευθεία L  που εφάπτεται σε έναν κύκλο C, και ένα σημείο Μ πάνω στην L. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος όλων των σημείων P του επιπέδου για τα οποία υπάρχουν σημεία Q,R στην L τα οποία να ισαπέχουν από το Μ και ο C να είναι εγγεγραμμένος στο τρίγωνο PQR.                                                                                                               

    by Johan Yebbou

Συνεχίζεται ... 


Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου