IMO 1959-1992 65p GR

ασκήσεις γεωμετρίας από Διεθνείς Μαθηματικές Ολυμπιάδες (International Mathematical Olympiad)

IMO Geometry Problems 1959 - 1992 EN in pdf with aops links

IMO Geometry Problems 1959 - 1992 GR in pdf with aops links

IMO problems 1959 - 2017 EN in pdf official

IMO problems 2008 - 2017 GR in pdf official

IMO problems 1959-2003 solved by John Scoles (kalva)
a pdf by Pham Van Cuong, Vietnam

IMO Shortlist problems 1959 - 2016 EN in pdf aops 

IMO Shortlist problems 2001 - 2018 EN in pdf with solutions

IMO Shortlist problems 1992 - 2000 EN in pdf with solutions, scanned
most of them by Orlando Döhring, 
member of the IMO ShortList / LongList Project Group, in aops

1959-1992

(συνεχίζεται)

1959 IMO Problem 4 (HUN)   (also)                                          

Να κατασκευάσετε ορθογώνιο τρίγωνο με δεδομένη υποτείνουσα c, έτσι ώστε η διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα να ισούται με τον γεωμετρικό μέσο των δυο κάθετων πλευρών του τριγώνου.

1959 IMO Problem 5 (ROM)  (also)   

Θεωρούμε σημείο Μ εσωτερικό στο ευθυγράμμο τμήμα ΑΒ . Τα τετράγωνα AMCD και MBEF κατασκευάζονται προς το ίδιο μέρος του τμήματος AB με τα τμήματα ΑΜ και ΜΒ ως βάσεις τους, αντιστοίχως. Οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των δυο τετραγώνων με κέντρα P και Q, αντίστοιχα, τέμνονται εκτός του σημείου M και στο  σημείο Ν. Έστω Ν΄ το σημείο τομής των ευθειών AF και BC.

(a) Να αποδείξετε οτι τα σημεία Ν και Ν΄ συμπίπτουν.

(b) Να αποδείξετε οτι οι ευθείες MN διέρχονται από ένα σταθερό σημείο S ανεξάρτητο από την επιλογή του  M.

(c) Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των μέσων των τμημάτων PQ, καθώς το σημείο M μεταβάλλεται στο ΑB.

by Cezar Cosnita

1959 IMO Problem 6 (CZS)  (also)                                                  

Δυο επίπεδα P και Q τέμνονται κατά την ευθεία p . Το σημείο Α ανήκει στο επίπεδο P, ενώ το σημειο C ανήκει στο επίπεδο Q, χωρίς κανένα από τα A και C να ανήκει στην ευθεία p. Να κατασκευάσετε ισοσκελές τραπέζιο ABCD  με AB // CD,  στο οποίο να μπορεί να εγγραφεί ένας κύκλος και του οποίου οι κορυφές B και D να ανήκουν στα επίπεδα P και Q , αντιστοίχως.

1960 IMO Problem 3 (ROU)  

Σε δεδομένο ορθογώνιο τρίγωνο ABC, η υποτείνουσα BC μηκους a, διαιρείται σε n ίσα τμήματα, όπου n περιττός ακέραιος. Έστω ω η γωνία υπό την οποία φαίνεται απο την κορυφή εκείνο το τμήμα, από αυτά που ορίζουμε στην υποτείνουσα, που περιέχει το μέσον της υποτείνουσας. Αν h είναι το ύψος του τριγώνου προς την υποτείνουσα, να αποδείξετε οτι : $\varepsilon \varphi \omega =\frac{4nh}{\left( {{n}^{2}}-1 \right)\alpha }$

by Gheorghe D. Simionescu

1960 IMO Problem 4 (HUN)  

Να κατασκευάσετε τρίγωνο ABC, όταν δίνονται τα ύψη του h­­_a , h_b (από A και B) και η διάμεσος m_a  (από την κορυφή  A).

1960 IMO Problem 5 (CZS)  (also)   

Δίνεται ο κύβος  ABCDA'B'C'D' (με την πλευρά ABCD ακριβώς πάνω από την A'B'C'D').

(a) Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των μέσων των τμημάτων XY , όπου X είναι οποιοδήποτε σημείο του  AC και Y οποιοδήποτε σημείο του B'D'.

(b) Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Z που ανήκουν στα τμήματα XY του ερωτήματος (a), τέτοια ώστε  ΖΥ = 2 ΧΖ .

1960 IMO Problem 7 (BUL)                                                     

Δίνεται ισοσκελές τραπέζιο με βάσεις a και b και ύψος h.

(α) Πάνω στον άξονα συμμετρίας του τραπεζίου, να βρείτε όλα τα σημεία P, τέτοια ώστε και τα δυο πόδια του τραπεζίου να φαίνονται από το P υπό ορθές γωνίες.

(b) Υπολογίστε την απόσταση του P από κάθε βάση.

(c) Καθορίστε υπό ποιες προϋποθέσεις, τέτοια σημεία P, πραγματικά υπάρχουν. (Εξετάστε διάφορες περιπτώσεις που μπορεί να συμβούν)

1961 IMO Problem 4 (GDR)   

Θεωρούμε τρίγωνο P₁P₂P₃  και σημείο P εντός του τριγώνου. Οι ευθείες P₁P , P₂P ,  P₃P τέμνουν τις απέναντι πλευρές στα σημεία Q₁, Q₂, Q₃ αντίστοιχα. Να αποδείξετε οτι, από τους αριθμούς ${\frac{{{P}_{1}}P}{P{{Q}_{1}}},\frac{{{P}_{2}}P}{P{{Q}_{2}}},\frac{{{P}_{3}}P}{P{{Q}_{3}}}}$ τουλάχιστον ένας είναι   ≤  2 και τουλάχιστον ένας είναι  ≥ 2.

1961 IMO Problem 5 (CSZ)    

Να κατασκευάσετε τρίγωνο ABC, αν AC = b, AB = c και <AMB = ω, όπου Μ είναι το μέσο του τμήματος BC και ω < 90­^o. Να αποδείξετε οτι η κατασκευή είναι δυνατή αν, και μόνο αν, $b\varepsilon \varphi \frac{\omega }{2}\le c<b$.  Σε ποια περίπτωση ισχύει η ισότητα;

1961 IMO Problem 6 (ROM) 

Θεωρούμε ένα επίπεδο  ε  και τρια μη συγγραμικά σημεία A, B, C προς το ίδιο μέρος του ε; τέτοια ώστε το επίπεδο που ορίζουν τα  A, B, C δεν είναι παράλληλο προς το  ε. Πάνω στο επίπεδο θεωρήστε τρία συμβατικά σημεία A΄, B΄, C΄ ώστε τα μέσα L, M, N των AA΄, BB΄, CC΄΄ να σχηματίζουν τρίγωνο. Έστω G το κέντρο βάρους του τριγώνου LMN. Ποιος είναι ο γεωμετρικός τόπος του σημείου G κατά την κίνηση των A΄, B΄, C΄ πάνω στο επίπεδο ε ;

by Gheorghe D. Simionescu 

1962 IMO Problem 3 (CZS)   

Θεωρούμε τον κύβο BCDA΄B΄C΄D΄ (που οι ABCD και A΄B΄C΄D΄ είναι η πάνω και κάτω βάση αντίστοιχα, ενώ οι ακμές AA΄, BB΄, CC΄, DD΄ είναι μεταξύ τους παράλληλες). Το σημείο X κινείται με σταθερή ταχύτητα κατά μήκος της περιμέτρου του τετραγώνου ABCD κατά τη διεύθυνση ABCDA, και το σημείο Y κινείται με τον ίδιο ρυθμό κατά μήκος της περιμέτρου του τετραγώνου B΄C΄CB κατά την διεύθυνση B΄C΄CB΄Β. Τα σημεία X και Y ξεκινούν την κίνηση τους την ίδια χρονική στιγμή από τα σημεία Α και Β αντίστοιχα. Να προσδιορίσετε και να χαράξετε τον γεωμετρικό τόπο των μέσων των ευθυγράμμων τμημάτων ΧΥ.

1962 IMO Problem 5 (BUL)   

Έστω A,B,C τρια διαφορετικά σημεία ενός κύκλου Κ. Να προσδιορίσετε ένα σημείο D του K τέτοιο ώστε ένας κύκλος να μπορεί να εγγραφεί στο εσωτερικό του ABCD.

1962 IMO Problem 6 (GDR)     

Η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου ενός ισοσκελούς τριγώνου είναι r, ενώ του εγγεγραμμένου είναι ρ.  Να αποδείξετε οτι η απόσταση μεταξύ των κέντρων των δύο κύκλων είναι 

1962 IMO Problem 7 (USS) 

Το τετράεδρο SABC έχει την ακόλουθη ιδιότητα: υπάρχουν πέντε σφαίρες, που η καθεμία εφάπτεται στις ακμές SA, SB, SC, BC, CA, AB ή στις προεκτάσεις τους.

(a) Να αποδείξετε οτι το τετράεδρο SABC είναι κανονικό.

(b) Να αποδείξετε αντίστροφα οτι σε κάθε κανονικό τετράεδρο υπάρχουν πέντε σφαίρες με την παραπάνω ιδιότητα.

1963 IMO Problem 2 (USS)   

Δίνεται σημείο Α και ευθύγραμμο τμήμα BC. Να προσδιορίσετε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων του χώρου, τα οποία είναι κορυφές ορθών γωνιών με μια πλευρά που περνάει από το Α και η άλλη τους πλευρά τέμνει το τμήμα BC.

1963 IMO Problem 3 (HUN)   

Σε ένα ν-γωνο του οποίου όλες οι εσωτερικές γωνίες είναι ίσες, τα μήκητων διαδοχικών πλευρών του ικανοποιουν τις σχέσεις  α₁≥  α₂  ≥ ... ≥ α_n . Να αποδείξετε οτι α₁ =  α₂  = ... = α_n .

1964 IMO Problem 3 (YUG) 

Ένας κύκλος είναι εγγεγραμμμένος στο τρίγωνο ABC με πλευρές a, b, c. Φέρουμε εφαπτόμενες του κύκλου παράλληλες προς τις πλευρές του τριγώνου και κάθε μια από αυτές αποκόπτει ένα τρίγωνο από το τρίγωνο ABC. Σε καθένα από αυτά τα τρίγωνα θεωρούμε τον εγγεγραμμένο κύκλο του. Να βρείτε το άθροισμα των τεσσάρων εγγεγραμμένων κύκλων συναρτήσει των πλευρών a,b,c

1964 IMO Problem 6 (POL)  

Σε τετράεδρο ABCD συνδέουμε την κορυφή D με το κέντρο βάρους D_o του τριγώνου ABC. Από τις κορυφές A,B,C φέρουμε ευθείες παράλληλες προς την DD_o , οι οποίες τέμνουν τα επίπεδα BCD, CAD και ABD στα σημεία A­₁, B­₁ και C­₁, αντιστοίχως. Να αποδείξετε οτι ο όγκος του τετραέδρου ισούται με το 1/3 του όγκου του τετράεδρου  A­₁B­₁C­₁D­_o. Ισχύει το ίδιο συμπέρασμα, όταν το D_o  είναι τυχαίο εσωτερικό σημείο του τριγώνου ABC;

1965 IMO Problem 3 (CZS)   

Δίνεται τετράεδρο ABCD του οποίου οι ακμές AB και CD έχουν μήκη a και b, αντιστοίχως. Η απόσταση AB και CD είναι d και η γωνία τους είναι ω. Το τετράεδρο ABCD διαιρείται σε δυο στερεά από επίπεδο ε, παράλληλο προς τις ευθείας AB και CD. Ο λόγος των αποστάσεων του ε από τις AB και CD είναι k.  Να υπολογίσετε τον λόγο των όγκων των δυο λαμβανόμενων στερεών.

1965 IMO Problem 5 (ROM) 

Θεωρούμε τρίγωνο ΟΑΒ με οξεία γωνία την ΑΟΒ. Από ένα σημείο M ≠ O φέρνουμε κάθετες προς τις πλευρές ΟΑ και ΟΒ τις MP και MK αντίστοιχα. Έστω Η το ορθόκεντρο του τριγώνου ΟΡΚ. Ποιος είναι ο γεωμετρικός τόπος του Η:

(a) αν το Μ κινείται στην πλευρά AB;

(b) αν το Μ κινείται στο εσωτερικό του τριγώνου ΟΑΒ;

by Gheorghe D. Simionescu

1966 IMO Problem 3 (BUL)  

Να αποδείξετε οτι το άθροισμα των αποστάσεων των κορυφών ενός κανονικού τετραέδρου από το κέντρο της περιγεγραμμένης σφαίρας είναι μικρότερο από το άθροισμα των αποστάσεων αυτών των κορυφών από οποιοδήποτε άλλο σημείο του χώρου.

1966 IMO Problem 6 (POL)   

Σε τρίγωνο ABC παίρνουμε τα σημεία K, L, M τυχαία επάνω στις πλευτές BC, CA, AB αντίστοιχα, έτσι ώστε κανέναν από αυτά να μην συμπίπτει με τις κορυφές του τριγώνου. Αποδείξτε οτι το εμβαδόν ενός τουλάχιστον των τριγώνων AML, BKM, CLK είναι μικρότερο ή ίσο από το ¼ του εμβαδού του τριγώνου.

1967 IMO Problem 1 (CSZ) 

Εστω  ABCD παραλληλόγραμμο με μήκη πλευρών AB = α, AD = 1, και με γωνία  <BAD = ω. Αν το τρίγωνο ABD είναι οξυγώνιο, να αποδείξετε οτι οι τέσσερις κύκλοι με κέντρα A,B,C,D  και ακτίνα 1 καλύπτουν το παραλληλόγραμμο, αν και μόνο αν,  $a\le \cos \omega +\sqrt{3}\sin \omega$.

1967 IMO Problem 2 (POL) 

Να αποδείξετε οτι, αν μια πλευρά (ακμή) ενός τετραέδρου είναι μεγαλύτερη του 1, τότε ο όγκος του είναι ≤ 1 / 8 .

1967 IMO Problem 4 (ITA) 

Έστω A_o B_oC_o και  A₁B₁C₁ δυο οξυγώνια τρίγωνα. Να θεωρήσετε όλα τα τρίγωνα τα οποία είναι όμοια προς το  A₁B₁C₁ (A, B, C και A₁,B₁,C₁ είναι οι κορυφές που αντιστοιχούν στις ομόλογες πλευρές) και περιγράφονται γύρω από το τρίγωνο A_o B_oC_o (όπου A_o  βρίσκεται πάνω στην BC, B_o  πάνω στην CA και C_o πάνω στην AB) . Απ’  όλα αυτά τα τρίγωνα, να προσδιορίσετε αυτό με το μεγαλύτερο εμβαδό και να το κατασκευάσετε.

by Tullio Viola

1968 IMO Problem 4 (POL) 

Να αποδείξετε οτι σε κάθε τετράεδρο υπάρχει μια κορυφή, ώστε οι ακμές που συναντώνται σε αυτήν έχουν μήκη, όσο οι πλευρές ενός τριγώνου.

1969 IMO Problem 3 (POL) 

Για κάθε τιμή του k =1,2,3,4,5 βρείτε αναγκαίες και ικανές συνθήκες για τον αριθμό a > 0 έτσι ώστε να υπάρχει ένα τετράεδρο με k ακμές μήκους a, και με τις υπόλοιπες ακμές 6-k μήκους 1.

1969 IMO Problem 4 (NET) 

Θεωρούμε ημικύκλιο γ , διαμέτρου ΑΒ. Αν C είναι σημείο του ημικυκλίου γ,  φέρνουμε   CD κάθετη στην  AB. Κατασκευάζουμε τρεις κύκλους γ1, γ2, γ3, όλους εφαπτόμενους στην ΑΒ. Από αυτούς ο γ1 είναι εγγεγραμμένους στο τρίγγωνο ABC, ο γ2 εφάπτεται επίσης της CD και του τόξου AC και  ο γ3 εφάπτεται της CD και του τόξου CB. Να αποδείξετε οτι οι τρεις κύκλοι γ1, γ2, γ3, έχουν μια δεύτερη κοινή εφαπτομένη, εκτός της ΑΒ.

1970 IMO Problem 1 (POL) 

Έστω M ένα σημείο της πλευράς AB, τριγώνου ΑΒC. Έστω r₁, r₂  και  r οι ακτίνες των εγγεγραμμένων κύκλων των τριγώνων AMC, BMC και ABC. Έστω q₁, q₂  και q οι ακτίνες των παρεηγεγραμμένων κύκλων των ίδιων τριγώνων που βρίσκονται μέσα στην γωνία <ACB. Αποδείξτε ότι   $\frac{{{r}_{1}}}{{{q}_{1}}}\cdot \frac{{{r}_{2}}}{{{q}_{2}}}=\frac{r}{q}$

1970 IMO Problem 5 (BUL) 

Στο τετράεδρο ABCD, η γωνία <BDC είναι ορθή. Υποθέτουμε οτι το ίχνος Η του ύψους από την κορυφή D στο τρίγωνο ABC είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου αυτού. Αποδείξτε οτι   (AB + BC + CA)² ≤ 6 (AD² + BD² + CD²). Για ποια τετράεδρα ισχύει η ισότητα;

1971 IMO Problem 2 (USS) 

Θεωρούμε ένα κυρτό πολύεδρο P₁ με εννέα κορυφές A₁A₂, ... ,A₉. Έστω P_i το πολύεδρο που δημιουργείται από το P₁ με μια μεταφορά η οποία μεταφέρει την κορυφή Α₁ στην A_i (i = 2, 3, ... ,9). Να αποδείξετε οτι τουλάχιστον δυο από τα πολύεδρα P₁,P₂, … , P₉ έχουν ένα κοινό εσωτερικό σημείο.

1971 IMO Problem 4 (NET) 

Όλες οι έδρες ενός τετραέδρου ABCD είναι οξυγώνια τρίγωνα. Θεωρούμε όλες τις κλειστές πολυγωνικές γραμμές XYZTX που καθορίζονται ως εξής: Το X είναι ένα σημείο της ακμής AB διαφορετικό των Α,Β και αντίστοιχα τα Y,Z,T είναι εσωτερικά σημεία των ακμών BC,CD,DA. Αποδείξτε οτι

(a) Αν <DAB + <BCD ≠ <CDA + <ABC, τότε μεταξύ των πολυγωνικών γραμμών δεν υπάρχει καμία με ελάχιστο μήκος.

(b) If <DAB + <BCD = <CDA + <ABC, τότε υπάρχουν πολλές πολυγωνικές γραμμές με ελάχιστο μήκος 2AC sin(a/2),  όπου a = <BAC + <CAD + <DAB.

1972 IMO Problem 2 (NET)  

Να αποδείξετε οτι, αν n ≥ 4, κάθε τετράπλευρο εγγράψιμο σε κύκλο, μπορεί να διαιρεθεί σε n τετράπλευρα καθένα από τα οποία είναι εγγράψιμο σε κύκλο.

1972 IMO Problem 6 (GBR)   

Δίνονται τέσσερα διαφορετικά παράλληλα επίπεδα. Να αποδείξετε οτι υπάρχει κανονικό τετράεδρο που έχει μια κορυφή σε κάθε επίπεδο.

1973 IMO Problem 2 (POL)   

Να εξετάσετε αν υπάρχει ή όχι ένα πεπερασμένο σύνολο σημείων M στο χώρο που δεν βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και είναι τέτοια ώστε για οποιαδήποτε δυο σημεία Α και Β του Μ, μπορούμε να βρούμε δυο άλλα σημεία C και D του Μ έτσι ώστε οι ευθείες AB και CD να είναι παράλληλες, χωρίς να συμπίπτουν.

1973 IMO Problem 4 (YUG)  

Ένας στρατιώτης πρέπει να ελέγξει ως προς την ύπαρξη ναρκών ένα χωριό σχήματος ισοπλεύρου τριγώνου. Η ακτίνα δράσης του ανιχνευτή ναρκών που διαθέτει ισούται με το μισό του ύψους του τριγώνου. Αν ο στρατιώτης ξεκινάει από μια κορυφή του τριγώνου, να βρεθεί η διαδρομη που πρέπει να ακολουθήσει για να εκτελέσει την αποστολή του, διανύοντας το ελάχιστο δυνατό διάστημα.

by Ðorde Dugošija

1975 IMO Problem 3 (NET) 

Στις πλευρές ενός τριγώνου ABC  κατασκευάζουμε τρίγωνα ABR, BCP, CAQ προς το εξωτερικό του τριγώνου έτσι ώστε <CBP = <CAQ = 45⁰  , <BCP = <ACQ = 30⁰, <ABR = <BAR = 15­­⁰ . Να αποδείξετε οτι  <QRP = 90⁰ και  QR = RP.

by Jan van de Craats

1976 IMO Problem 1 (CZS) 

Σε ένα επίπεδο κυρτό τετράπλευρο εμβαδού 32, το άθροισμα των μηκών δυο απέναντι πλευρών του και μιας διαγωνίου είναι 16. Να προσδιορίσετε όλα τα δυνατά μήκη της άλλης διαγωνίου.

1977 IMO Problem 2 (NET)  

Μέσα στο τετράγωνο ABCD κατασκευάζουμε ισόπλευρα τρίγωνα ABK,BCL,CDM  και DAN. Να αποδείξετε οτι τα μέσα των τεσσάρων τμημάτων KL, LM, MN, NK και τα μέσα των οκτώ τμημάτων AK,BK,BL,CL,CM,DM,DN,AN είναι οι  δώδεκα κορυφές ενός κανονικού δωδεκαγώνου.

by Jan van de Craats

1978 IMO Problem 2 (USA) 

To P είναι ένα σημείο μέσα σε μια σφαίρα.  Τρεις αμοιβαίως κάθετες ευθείες από το P τέμνουν την σφαίρα στα σημεία U, V και W. Το Q υποδηλώνει την κορυφή διαγωνίως απέναντι από το P στο παραλληλεπίπεδο που προσδιορίζεται από τα PU, PV, PW. Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του Q, για όλες τις δυνατές τριάδες τέτοιων ημιευθειών από το P.

by Murray Klamkin

1978 IMO Problem 4 (USA)

Έστω ισοσκελές τρίγωνο ABC (AB=AC) . Θεωρούμε κύκλο εφαπτόμενο εσωτερικά στον  περιγεγραμμένο κύκλο και ταυτόχρονα στις AB, ΑC στα P,Q αντίστοιχα. Δείξτε οτι το μέσο του PQ ταυτίζεται με το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου στο τρίγωνο.

by Murray Klamkin

1979 IMO Problem 3 (USS)  

Έστω δυο τεμνόμενοι κύκλοι του αυτού επιπέδου. Το Α είναι το ένα απο τα σημεία τομής. Με αφετηρία το Α ξεκινούν ταυτόχρονα δυο σημεία κινούμενα με σταθερή ταχύτητα, το καθένα κατά μήκος του δικού του κύκλου με την ίδια φορά. Τα δυο σημεία επιστρέφουν στο Α ταυτόχρονα μετά από μια περιστροφή. Να αποδείξετε οτι υπάρχει ένα σταθερό σημείο P του επιπέδου έτσι ώστε τα δυο σημεία να ισαπέχουν πάντα από το P.

by Nikolai Vasil'ev and Igor F. Sharygin

1979 IMO Problem 4 (USA)  

Δίνεται ένα επίπεδο (π), ένα σημείο P του επιπέδου (π) και ένα σημείο Q που δεν ανήκει στο επίπεδο (π). Βρείτε όλα τα σημεία R του επιπέδου (π) , που  είναι τέτοια ώστε ο λόγος         $\frac{QP+PR}{QR}$ να λαμβάνει την μέγιστη δυνατή τιμή.

by Murray Klamkin

1981 IMO Problem 1 (GBR) 

To P είναι ένα σημείο μέσα στο τρίγωνο ABC. Τα D,E,F είναι τα ίχνη των καθέτων από το P στις ευθείες BC, CA, AB αντίστοιχα. Βρείτε όλα τα P για τα οποία το άθροισμα  $\frac{BC}{PD}+\frac{CA}{PE}+\frac{AB}{PF}$ γίνεται ελάχιστο.

by David Monk

1981 IMO Problem 5 (USS)   

Τρεις κύκλοι ίσων ακτινών έχουν κοινό σημείο Ο και ευρίσκονται μέσα σε δεδομένο τρίγωνο. Ο κάθε ένας κύκλος εφάπτεται σε ένα ζεύγος πλευρών του τριγώνου. Να αποδείξετε οτι το κέντρο του εγγεγραμμένου στο τρίγωνο κύκλου, του περιγεγραμμένου στο τρίγωνο κύκλου και το Ο βρίσκονται στην ίδια ευθεία.

1982 IMO Problem 2 (NET)   

_­

Έστω A₁A₂A₃  ­­  (A_i με i=1,2,3) μη ισοσκελές τρίγωνο με πλευρές  a₁, a₂, a₃   (a_i με i=1,2,3) με a_i αντικείμενη πλευρά στην κορυφή Ai. Έστω επίσης M_i το μέσο της πλευράς a_i, και  T_i το σημείο επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου με την πλευρά  a_i. Έστω, τέλος, S_i το συμμετρικό του  Ti ως προς την εσωτερική διχοτόμο της γωνίας  A_i. Να δειχθεί οτι οι ευθείες M₁S₁, M₂S₂ , M₃S₃  συντρέχουν.

by Jan van de Craats

1982 IMO Problem 5 (NET) 

Οι διαγώνιοι AC και CE του κανονικού εξαγώνου ABCDEF χωρίζονται από τα εσωτερικά σημεία Μ και Ν αντίστοιχα, έτσι ώστε $\frac{AM}{AC}=\frac{CN}{CE}=r$. Να προσδιρίσετε το r, αν τα B, M και Ν είναι συνευθειακά.

by Jan van de Craats

1983 IMO Problem 2 (USS) 

Έστω οτι το Α είναι ένα από τα σημεία τομής δυο άνισων συνεπίπεδων κύκλων C₁ και C₂, με κέντρα O₁  , O₂, αντιστοίχως. Η μια από τις κοινές εφαπτόμενες των δύο κύκλων εφάπτεται του C₁  στο P₁  και του C₂  στο P₂ ­, ενώ η άλλη εφάπτεται του C₁  στο Q₁  και του C₂  στο Q₂. Έστω οτι  Μ₁ είναι το μέσο των P₁Q₁ και Μ₂  του P₂Q₂. Δείξτε οτι <O₁AO₂  = <M₁AM₂.

by Igor F. Sharygin

1983 IMO Problem 4 (BEL) 

Έστω οτι το ABC είναι ενα ισόπλευρο τρίγωνο και το E το σύνολο όλων των σημείων που περιέχονται στα τρία τμήματα AB, BC και CA (συμπεριλαμβανομένων των A,B και C). Να εξετάσετε αν, για κάθε διαμέριση του Ε σε δυο ξένα υποσύνολα, τουλάχιστον ένα απο τα δυο υποσύνολα περιέχει τις κορυφές ενός ορθογωνίου τριγώνου.

1984 IMO Problem 4 (ROM)  

Έστω οτι ABCD είναι ένα κυρτό τετράπλευρο με την ευθεία CD εφαπτομένη στον κύκλο με διάμετρο AB. Να αποδείξετε οτι η ευθεία AB είναι εφαπτομένη στον κύκλο με διάμετρο CD, αν και μόνο αν, οι BC και AD είναι παράλληλοι.

by Laurentiu Panaitopol

1985 IMO Problem 4 (GDR)  

Ένας κύκλος έχει κέντρο στην πλευρά ΑΒ του εγγεγραμμένου τετραπλέυρου ABCD του οποίου οι άλλες τρεις πλευρές είναι εφαπτόμενες στον κύκλο. Να αποδείξετε οτι   AD + BC = AB.

by Frank Budden

1985 IMO Problem 5 (USS) 

Ένας κύκλος κέντρου Ο περνάει από τις κορυφές A και C του τριγώνου  ABC και τέμνει τα τμήματα ΑΒ και BC πάλι σε διακεκριμένα σημεία K και N αντίστοιχα. Οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των ABC και KBN τέμνονται σε ακριβώς δυο διακεκριμένα σημεία B και M. Να αποδείξετε οτι η γωνία <OMB είναι ορθή.

by Igor F. Sharygin

1986 IMO Problem 2 (CHN)   

Έστω ένα τρίγωνο A₁A₂A₃ και ένα σημείο P₀ στο ίδιο επίπεδο. Έστω A_s = A_s-3 για κάθε s ≥ 4. Κατασκευάζουμε τα σημεία P₁, P₂, P₃, . . . , έτσι ώστε το σημείο P_k+1 να είναι η εικόνα του σημείου P_k μετά από μια στροφή κατά 120^o σύμφωνα με την φορά των δεικτών του ρολογίου με κέντρο το A_k+1 , για k = 0, 1, 2, . . . . Αν P₁₉₈₆ = P₀, να αποδείξετε οτι το τρίγωνο  A₁A₂A₃  είναι ισόπλευρο.

 by Gengzhe Chang and Dongxu Qi

1986 IMO Problem 4 (ICE)  

Έστω Α,Β δυο διαδοχικές κορυφές ενός κανονικού n-γώνου (n ≥ 5) με κέντρο Ο. Ένα τρίγωνο XYZ το οποίο είναι ίσο και αρχικά συμπίπτει με το ΟΑΒ, κινείται στο επίπεδο με τέτοιο τρόπο ώστε τα σημεία Υ,Ζ να βρίσκονται στην περιφέρεια του n-γώνου και το σημείο X να βρίσκεται στο εσωτερικό του. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του Χ.

by Sven Sigurðsson

1987 IMO Problem 2 (USS)    

Σε ένα οξυγώνιο τρίγωνο ABC η εσωτερική διχοτόμος της γωνίας <Α τέμνει την BC στο L και τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου ABC στο Ν.  Από το L φέρνουμε κάθετες προς τις AB, AC και έστω K, M τα ίχνη τους. Να αποδείξετε οτι το τετράπλευρο AKNM και το τρίγωνο ABC έχουν ίσα εμβαδά.

by I.A. Kushnir

1988 IMO Problem 1 (LUX) 

Θεωρούμε δυο ομόκεντρους κύκλους στο επίπεδο με ακτίνες R και r, όπου R > r.  Έστω P ένα σταθερό σημείο του μικρού κύκλου και B ένα μεταβλητό στοιχείο του μεγάλου κύκλου. Η ευθεία BP τέμνει τον μεγάλο κύκλο  ξανά στο C. Η κάθετος της BP στο P τέμνει τον μικρό κύκλο ξανά στο A. (Αν είναι εφαπτομένη του κύκλου τότε Α ≡ P)

(a) Να βρείτε όλες τις δυνατές τιμές της παράστασης BC_­­² + CA_­­² + AB_­­².

(b) Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του μέσου του BC.                                    

by Lucien Kieffer

1988 IMO Problem 5 (GRE)  

Έστω ABCένα τρίγωνο με <Α =90^ο , και έστω D το ίχνος του ύψους από το Α. Η ευθεία που ενώνει τα έκκεντρα των τριγώνων ABD, ACD τέμνει τις πλευρές AB,AC στα σημεία K,L αντίστοιχα. Να αποδείξετε οτι το εμβαδόν του τριγώνου ABC είναι τουλάχιστον διπλάσιο από αυτό του AKL.

by Dimitris Kontogiannis

1989 IMO Problem 2 (AUS)  

Έστω ΑΒC ένα οξυγώνιο τρίγωνο. Οι εσωτερικές διχοτόμοι των γωνιών Α,Β,C τέμνουν τον περιγεγραμμένο κύκλο του ABC στα σημεία Α₁, Β₁ ,C_1­ αντίστοιχα. Έστω Α_ο το σημείο τομής των ευθειών ΑΑ₁ με τις εξωτερικές διχοτόμους των γωνιών Β, C και αντιστοίχως ορίζουμε τα B_ο ,C_ο.  Να αποδείξετε οτι το εμβαδόν του τριγώνου Α_οB_οC_ο:

(a) είναι διπλάσιο του εμβαδούν του εξαγώνου  ΑC₁BA₁CB₁

(b) τουλάχιστον τέσσερις φορές μεγαλύτερο του εμβαδού του τριγώνου ABC.

by Esther Szekeres

1989 IMO Problem 4 (ICE)  

Έστω ABCD ένα κυρτό τετράπλευρο με AB  = AD + ΒC. Αν P είναι ένα εσωτερικό σημείο του ABCD το οποίο απέχει απόσταση h απο την ευθεία CD και AP = h + AD και  BP = h + BC. Να αποδείξετε οτι  $\frac{1}{\sqrt{h}}\ge \frac{1}{\sqrt{AD}}+\frac{1}{\sqrt{BC}}$

by Eggert Briem

1990 IMO Problem 1 (IND)  

Οι χορδές AB και CD ενός κύκλου τέμνονται στο σημείο E στο εσωτερικό του κύκλου. Έστω Μ ένα εσωτερικό σημείο του ευθυγράμμου τμήματος ΕΒ. Η εφαπτομένη στο Ε του κύκλου που διέρχεται από τα σημεία D,E,M  τέμνει στις ευθείες BC,AC στα σημεία F και G αντίστοιχα. Να υπολογίσετε τον λόγο $\frac{EF}{EG}$  ως συνάρτηση του $t=\frac{AM}{AB}$.

by C.R. Pranesachar

1991 IMO Problem 1 (USS) 

Έστω Ι το έγκεντρο ενός τριγώνου ABC. Οι εσωτερικές διχοτόμοι των γωνιών A, B, C τέμνουν τις απέναντι πλευρές στα σημεία A΄, B΄, C΄ αντίστοιχα. Να αποδείξετε οτι $\frac{1}{4}<\frac{AI\cdot BI\cdot CI}{AA'\cdot BB'\cdot CC'}\le \frac{8}{27}$

by Arkadii Skopenkov

1991 IMO Problem 5 (FRA)  

Έστω ABC ένα τρίγωνο και P ένα εσωτερικό του σημείο. Να αποδείξετε οτι τουλάχιστον μια από τις γωνίες <PAB, <PBC, <PCA είναι μικρότερη ή ίση με 30⁰.

by Johan Yebbou

1992 IMO Problem 1 (FRA)  

Έστω μια ευθεία L  που εφάπτεται σε έναν κύκλο C, και ένα σημείο Μ πάνω στην L. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος όλων των σημείων P του επιπέδου για τα οποία υπάρχουν σημεία Q,R στην L τα οποία να ισαπέχουν από το Μ και ο C να είναι εγγεγραμμένος στο τρίγωνο PQR.                                                                                                               

    by Johan Yebbou

Συνεχίζεται ...