Balkan 1984- 44p GR

ασκήσεις γεωμετρίας από Βαλκανιάδες (Balkan Mathematical Olympiads)

Balkan MO Geometry 1984 - 2017 EN in pdf with aops links
Balkan MO Geometry 1984 - 2017 GR in pdf with aops links
Balkan MO all problems 1984-2017 EN in pdf aops
Balkan MO all problems 1984-2009 EN in pdf imomath
Balkan MO all problems 2008-18 EN in pdf with solutions

1984 BMO Problem 2 (ROM) (also)

Θεωρούμε εγγράψιμο τετράπλευρο ABCD και τα ορθόκεντρα H_A, H_B, H_C, H_D  των τριγώνων BCD, CDA, DAB και ABC αντιστοίχως. Να αποδείξετε οτι τα τετράπλευρα ABCD and H_AH_BH_CH_D  είναι ίσα.

1985 BMO Problem 1 (BUL) 

Έστω Ο το περίκεντρο του τριγώνου ABC, D το μέσον της πλευράς AB και E το βαρύκεντρο του τριγώνου ACD. Να αποδείξετε οτι οι ευθείες CD και OE είναι κάθετες αν και μόνο αν AB=AC.

by Ivan Tonov

1985 BMO Shortlist 1 (GRE)                                           

Ας είναι e₁, e₂ δυο ευθείες κάθετες στο ίδιο επίπεδο.  Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων του χώρου, από τα οποία μπορούμε να φέρουμε τρεις ευθείες ανα δυο κάθετες που να τέμνουν την e₁  είτε την e₂.

by Theodoros Bolis

1985 BMO Shortlist 2 (GRE) (also)                                        

Έστω τρίγωνο ABC με  <A=120_­­­^o.  Ας είναι  AD, CE οι διχοτόμοι των γωνιών αντίστοιχα και  I  το σημείο τομής των AD, CE. Αν Z είναι το σημείο τομής των  BI και  DE , να υπολογίσετε την γωνία <DAZ .

by Dimitris Kontogiannis

1986 BMO Problem 1 (GRE) 

Ευθεία διερχόμενη από το έκκεντρο Ι του τριγώνου ABC τέμνει τον εγγεγραμμένο κύκλου στα D  και Ε και τον περιγεγραμμένο κύκλου στα F και G  (D ανάμεσα στα F και I). Να αποδειχθεί οτι DF・EG ≥ r_­­­_­² , όπου r η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου. Πότε ισχύει η ισότητα;

by Dimitris Kontogiannis

1986 BMO Problem 2 (BUL) 

Έστω τετράεδρο ABCD και τα σημεία E,F,G,H,K,L των εδρών AB,BC,CA,DA, DB,DCαντιστοίχως.Αν AE ・BE = BF ・CF =CG・AG = DH ・AH = DK ・BK = DL ・CL, να αποδείξτε οτι τα E,F,G,H,K,L ανήκουν στην ίδια σφαίρα.

1986 BMO Problem 4 (ROM) 

Τρίγωνο ABC έχει την ιδιότητα οτι υπάρχει σημείο του επιπέδου του , έστω Τ, τέτοιο ώστε τα τρίγωνα TAB, TBC, TCA έχουν την ίδια περίμετρο και το ίδιο εμβαδόν. Να αποδείξετε οτι:

(a) Αν το Τ είναι σημείο εντός του τριγώνο ABC, τότε το τρίγωνο ABC είναι ισόπλευρο.

(b) Αν το Τ είναι σημείο εκτός του τριγώνο ABC, τότε το τρίγωνο ABC είναι θα έχει μια ορθή γωνία.

1987 BMO Problem 4 (BUL) 

Δυο κύκλοι Κ₁, Κ₂ με κέντρα  O₁ ,O₂  και ακτίνες 1, √2 αντίστοιχα τέμνονται στα σημεία Α και Β και ισχύει O₁O₂ = 2. Εστω AC μια χορδή του κύκλου Κ₂. Να βρεθεί το μήκος της AC,  αν το μέσο της βρίσκεται στον κύκλο  Κ­₁.

1988 BMO Problem1 (BUL) 

Αν CH,CL,CM είναι το ύψος, η διχοτόμος και η διάμεσος από την κορυφή C στο τρίγωνο ABC  αντίστοιχα, (τα H,L,M βρίσκονται στην ευθεία AB) και είναι γνωστό οτι $\frac{\left( HMC \right)}{\left( ABC \right)}=\frac{1}{4}$ και $\frac{\left( LMC \right)}{\left( ABC \right)}=1-\frac{\sqrt{3}}{2}$, να. υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ABC.

1988 BMO Problem 4 (GRE)  

Να αποδειχθεί οτι κάθε τετράεδρο A­­₁A­₂A­­₃A­­₄  μπορεί να <<τοποθετηθεί>> ανάμεσα σε δυο επίπεδα (συμπεριλαμβανομένων και των δυο επιπέδων) ώστε η μεταξύ τους απόσταση d να επαληθεύει την ανισότητα $d\le \frac{1}{2}\sqrt{\frac{p}{3}}$, όπου p το άθροισμα των τετραγώνων όλων των ακμών του τετραέδρου.

1989 BMO Problem 3 (GRE) 

Έστω ABC ένα τρίγωνο και  l μια ευθεία που τέμνει τις πλευρές AB και AC στα σημεία B₁ και C­₁ αντίστοιχα, έτσι ώστε η κορυφή A και το βαρύκεντρο G του τριγώνου ABC να ανήκουν στο ίδιο ημιεπίπεδο που ορίζεται απο την ευθεία l. Να αποδειχθεί οτι    $\left( B{{B}_{1}}G{{C}_{1}} \right)+\left( C{{C}_{1}}G{{B}_{1}} \right)\ge \frac{4}{9}\left( ABC \right)$

by Dimitris Kontogiannis

1990 BMO Problem 3 (YUG) 

Έστω A₁,B₁,C₁ το ορθικό τρίγωνο οξυγωνίου και μη ισοπλεύρου τριγώνου (δηλ. με κορυφές τα ίχνη των υψών του) και A₂,B₂,C₂ τα σημεία επαφής του εγγεγραμμένου στο τρίγωνο A₁B₁C₁ με τις πλευρές του. Να αποδειχθεί οτι οι ευθείες Euler των τριγώνων ABC και  A₂B₂C₂ ταυτίζονται.

1991 BMO Problem 1 (GRE) 

Έστω Μ τυχαίο σημείο του τόξου ΑΒ (που δεν συμπεριλαμβάνει το σημείο C) του περιγεγραμμένου κύκλου του οξυγωνίου τριγώνου ABC. Η κάθετη στην ακτίνα ΟΑ που άγεται από το Μ τέμνει τις πλευρές ΑΒ, ΑC στα σημεία K,L αντίστοιχα (Ο είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου). Παρόμοια, η κάθετη από το Μ στην ακτίνα ΟΒ τέμνει τις πλευρές ΑΒ, ΑC στα σημεία Ν,P αντίστοιχα. Αν KL=MN, να υπολογίσετε την γωνία <MLP συναρτήσει των γωνιών του τριγώνου ABC.

1991 BMO Problem 3 (BUL) 

Ένα κανονικό εξάγωνο εμβαδού H είναι εγγεγραμμένο σε κυρτό πολύγωνο εμβαδού P. Να αποδείξετε οτι P ≤ 3/2 H. Πότε ισχύει η ισότητα;

1992 BMO Problem 3 (GRE) 

Έστω τρίγωνο ABC και D,E,F σημεία των πλευρών BC,CA,AB αντίστοιχα (που δεν ταυτίζονται με κορυφές). Αν το AFDE είναι εγγράψιμο σε κύκλο, να δείξετε οτι $\frac{4(DEF)}{( ABC)}\le {{\left( \frac{EF}{AD} \right)}^{2}}$

1993 BMO Problem 3 (GRE) 

Οι κύκλοι C­₁, C­₂ με κέντρα O­₁ , O­₂, αντιστοίχως με το O­₂ να βρίσκεται εξωτερικά του κύκλου C­₁, εφάπτονται εξωτερικά στο σημείο G. Θεωρούμε τον κύκλο C που εφάπτεται των κύκλων C­₁ και C­₂ στα σημεία A και B αντιστοίχως, έτσι ώστε τα κέντρα O­₁ , O­₂ να βρίσκονται στο εσωτερικό του κύκλου C. Το κέντρο του κύκλου C είναι το σημείο O. Η κοινή εφαπτομένη των κύκλων C­₁ και C­₂ στο G τέμνει τον κύκλο C στα σημεία K και L. Αν D είναι το μέσον του ευθυγράμμου τμήματος KL, να αποδείξετε οτι <O­₁OO­₂ = <ADB.

1994 BMO Problem 3 (GRE) 

Έστω P είναι ένα σημείο στο εσωτερικό μιας οξείας γωνίας ΧΑΥ. Να κατασκευάσετε μια ευθεία d που να περνάει από το P, χρησιμοποιώντας κανόνα και διαβήτη, έτσι ώστε το εμβαδόν του τριγώνου ABC να ισούται με AP², όπου A και Β είναι οι τομές της d με τις πλευρές ΑX και ΑY, αντιστοίχως.

1995 BMO Problem 2 (GRE)

Θεωρούμε τους κύκλους  c₁ (O₁, r₁) και c₂ (O₂, r₂) που τέμνονται σα Α,Β όπου  r₁­ < r₂ και  <O₁ AO₂ = 90^ο. Η ευθεία O₁ O₂ τέμνει τον c₁ στα C,D ενώ τον c₂ στα E,F. Το E είναι μεταξύ των C,D και το D μεταξύ των E,F. Η BE τέμνει τον c₁ στο K και την AC στο M, ενώ η BD τέμνει τον c₂ στο L και την AF στο Ν. Να αποδείξετε οτι .

1996 BMO Problem 1 (GRE) 

Έστω  O,G το περίκεντρο και το κέντρο βάρους τριγώνου ABC αντίστοιχα. Αν R είναι η ακτίνα του περιγεγραμμένου και r η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου αντίστοιχα, να αποδείξετε οτι  

1996 BMO Problem 3 (YUG) 

Έστω ABCDE κυρτό 5-γωνο και M,N,P,Q,R τα μέσα των πλευρών AB, BC, CD, DE, EA αντίστοιχα. Αν τα τμήματα AP, BQ, CR, DM διέρχονται από το ίδιο σημείο Ο, να αποδείξετε οτι και το ΕΝ διέρχεται από το Ο.

1997 BMO Problem 1 (YUG) 

Έστω Ο ένα εσωτερικό σημείο ενός κυρτού τετραπλεύρου ABCD, που ικανοποιεί τη σχέση OA²+OB²+OC²+OD² = 2(ABCD). Να αποδείξετε οτι το τετράπλευρο ABCD είναι τετράγωνο με κέντρο το σημείο O.

1997 BMO Problem 3 (GRE) 

Θεωρείστε τρεις κύκλους  C₁ , C₂, G όπου C₁ , C₂, εφάπτονται εσωτερικώς του G στα σημεία B,C αντίστοιχα και επίσης, εφάπτονται εξωτερικώς σ’ ένα σημείο D. Έστω A ένα απο τα δυο σημεία στα οποία η κοινή εσωτερική εφαπτομένη των C₁ , C₂ στο D συναντά τον κύκλο G. Επιπλέον, έστω K,L τα σημεία τομής των ευθειών AB,AC με τους κύκλους C₁ , C₂ αντίστοιχα και M,N τα σημεία τομής της BC με τους κύκλους C₁ , C₂ αντίστοιχα. Αποδείξτε οτι οι ευθείες AD, KM, LN διέρχονται από το ίδιο σημείο P.

1998 BMO Problem 3 (YUG) 

Έστω L, το σύνολο που περιέχει τα σημεία του τριγώνου ABC εκτός από ένα εσωτερικό του σημείο T. Να αποδείξετε οτι το L μπορεί να παρασταθεί ως ένωση ξένων μεταξύ τους ανά δυο κλειστών τμημάτων (κλειστό τμήμα είναι αυτό περιέχει τα άκα του).

1999 BMO Problem 1 (TUR) 

Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ABC εγγεγραμμένο σε κύκλο κέντρου Ο. Έστω D το μέσο του τόξου BC, στο οποίο δεν ανήκει η κορυφή Α. Ονομάζουμε Ε και F, τα συμμετρικά του D ως προς την ευθεία BC και ως προς κέντρο O. Τέλος, έστω Κ το μέσο του ΑΕ.  Να αποδείξετε οτι:

(a) Ο κύκλος που διέρχεται από τα μέσα των πλευρών του τριγώνου ABC διέρχεται από το K.

(b) Η ευθεία που διέρχεται από το K και από το μέσο του BC είναι κάθετη στην ΑF.

1999 BMO Problem 3  (ALB) 

Έστω ABC οξυγώνιο τρίγωνο και G το βαρύκεντρό του. Έστω Μ,Ν,P τα ίχνη των καθέτων που φέρνουμε από το G στις πλευρές AB,BC,CA αντίστοιχα. Να αποδείξετε οτι $\frac{4}{27}<\frac{\left( MNP \right)}{\left( ABC \right)}\le \frac{1}{4}$

2000 BMO Problem 2  (FYROM)  

Έστω ABC ένα μη ισοσκελές οξυγώνιο τρίγωνο και E ένα εσωτερικό σημείο της διαμέσου AD. Το σημείο F είναι η ορθογώνια προβολή του σημείου F πάνω στην BC. Έστω M εσωτερικό σημείο του τμήματος EF και N,P οι ορθογώνιες προβολές του σημείου M πάνω στις ευθείες AC, AB αντιστοίχως. Να αποδείξετε οτι οι ευθείες που περιέχουν τις διχοτόμους των γωνιών PMN και PEN δεν έχουν κοινό σημείο.

2001 BMO Problem 2 (MOL)  

Να δείξετε οτι, αν ένα κυρτό πεντάγωνο ικανοποιεί τις ιδιότητες:

(i) όλες οι εσωτερικές του γωνίες είναι ίσες

(ii) τα μήκη όλων των πλευρών του είναι ρητοί αριθμοί

τότε αυτό είναι κανονικό.

2002 BMO Problem 3 (ROM) 

Δύο κύκλοι με διαφορετικές ακτίνες τέμνονται στα σημεία Α και Β. Αν ΜΝ και ST είναι οι κοινές εφαπτόμενες των δύο κύκλων, όπου Μ, S ανήκουν στον ένα κύκλο και Ν, Τ ανήκουν στον άλλο, να αποδείξετε ότι τα ορθόκεντρα Η₁, Η₂, Η₃ και Η₄ των τριγώνων ΑΜΝ, AST, BMN και BST αντιστοίχως, είναι κορυφές ορθογωνίου.

2003 BMO Problem 2 (ROM) 

Έστω τρίγωνο ΑBC με AB ≠ AC και έστω D το σημείο τομής της εφαπτομένης του περιγεγραμμένου του κύκλου στο σημείο Α με την ευθεία CB. Αν Ε και F είναι σημεία των μεσοκαθέτων των πλευρών AB και AC τέτοια ώστε οι ΒΕ , BC κάθετες  και CF, BC επίσης κάθετες, να αποδείξετε ότι τα σημεία D, E και F είναι συνευθειακά.

by Valentin Vornicu

2004 BMO Problem 3 (ROM) 

Έστω O ένα εσωτερικό σημείο σε οξυγώνιο τρίγωνο ABC.  Οι κύκλοι με κέντρα τα μέσα των πλευρών του τριγώνου ABC και διέρχονται από το σημείο O, τέμνονται στα σημεία K,L,M διαφορετικά του O. Να αποδείξετε ότι το O είναι το έγκεντρο του τριγώνου KLM αν και μόνο αν το O είναι το περίκεντρο του τριγώνου ABC.

2005 BMO Problem 1 (BUL) 

Έστω οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒC περιγεγραμμένο σε κύκλο και έστω D και E τα σημεία επαφής με τις πλευρές ΑΒ και AC αντιστοίχως. Αν Χ και Y είναι τα σημεία τομής των διχοτόμων των γωνιών C και Bμ ε την ευθεία DE  και Ζ το μέσο της ΒC, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΧYΖ είναι ισόπλευρο, αν και μόνο αν <Α = 60⁰.

2006 BMO Problem 2 (GRE) 

Μια ευθεία m τέμνει τις πλευρές AB, AC και την προέκταση της BC προς το C , ενός τριγώνου ABC στα σημεία D,F,E, αντίστοιχα. Οι ευθείες που διέρχονται από τα σημεία A,B,C και είναι παράλληλες προς την ευθεία m τέμνουν τον περιγεγραμμένου κύκλο του τριγώνου ABC ξανά στα σημεία A₁,B₁,C₁, αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι οι ευθείες A₁E, B₁F, C₁D συντρέχουν.

by Dimitris Kontogiannis

2007 BMO Problem 1 (ALB) 

Σε κυρτό τετράπλευρο ABCD με  AB = BC = CD, οι διαγώνιοι AC και  BD έχουν διαφορετικό μήκος και τέμνονται στο σημείο E. Να αποδείξετε οτι AE = DE αν και μόνο αν  <BAD + <ADC = 120 ^o.

2008 BMO Problem 1  (CYP) 

Δίνεται οξυγώνιο σκαληνό τρίγωνο ABC με  AB > BC. Έστω O το περίκεντρό του, H το ορθόκεντρό του, και  F το ίχνος του ύψους του από το C. Έστω P σημείο (διαφορετικό από το A) πάνω στην ευθεία AB τέτοιο ώστε AF = PF, και  M ένα σημείο της AC. Συμβολίζουμε την τομή των PH και  BC με X, την τομή των OM και  FX με Y,  και την τομή των OF και AC με Z. Να αποδείξετε ότι τα σημεία F, M, Y, και Z είναι ομοκυκλικά.

by Theoklitos Paragyiou

2009 BMO Problem 1 (MOL) 

Έστω MN//BC τριγώνου ABC όπου τα M,N είναι σημεία των πλευρών AB,AC αντίστοιχα. Oι ευθείες BN, CM τέμνονται στο P. Oι περιγεγραμμένοι κύκλοι των BMP, CNP τέμνονται σε δύο διαφορετικά σημεία P, Q . Να αποδείξετε ότι  <BAQ  = <CAP.

by Liubomir Chiriac

2010 BMO Problem 2 (KSA)

Έστω ABC ένα οξυγώνιο τρίγωνο με ορθόκεντρο H και έστω M το μέσο της AC. Η κάθετη από το σημείο C προς την AB την τέμνει στο σημείο C₁ και έστω H₁ το συμμετρικό του H ως προς την AB. Οι προβολές του H πάνω στις AH₁, AC και BC είναι τα σημεία P,Q,R αντίστοιχα. Αν M₁ είναι ένα σημείο ώστε το περίκεντρο του τριγώνου PQR να είναι το μέσο του τμήματος MM₁ να αποδείξετε ότι το M₁ βρίσκεται επί της ευθείας BH₁.

2011 BMO Problem 1 (GBR) 

Δίνεται εγγράψιμο τετράπλευρο ABCD, όχι τραπέζιο, των οποίων οι διαγώνιοι τέμνονται στο E. Τα μέσα των AB και CD είναι τα F και G αντίστοιχα. Έστω l μια ευθεία που διέρχεται από το G παράλληλη στην AB. Οι πόδες των υψών από το E προς την l και την CD είναι τα σημεία H και K αντίστοιχα. Αποδείξτε ότι οι EF και HK είναι κάθετες.

2011 BMO Problem 4 (BUL)

Έστω ABCDEF ένα εξάγωνο εμβαδού 1, των οποίων οι απέναντι πλευρές είναι παράλληλες. Οι ευθείες AB,CD,EF τέμνονται σε ζεύγη ώστε να αποτελούν κορυφές ενός τριγώνου. Ομοίως οι ευθείες BC,DE,FA τέμνονται σε ζεύγη ώστε να αποτελούν κορυφές ενός άλλου τριγώνου. Να δείξετε ότι το εμβαδόν τουλάχιστον ενός τριγώνου από αυτά τα τρίγωνα είναι τουλάχιστον 3/2.

2012 BMO Problem 1 (ROM) 

Έστω A, B και  C σημεία κύκλου Γ με κέντρο  O. Έστω οτι <ABC > 90_­­­^o. Έστω D το σημείο τομής της ευθείας AB με την ευθεία που είναι κάθετη στην AC στο σημείο C. Έστω l η ευθεία που διέρχεται από το D και είναι κάθετη στην AO. Έστω E το σημείο τομής της ευθείας  l με την ευθεία AC, και έστω F το σημείο τομής του κύκλου Γ με την ευθεία  l , που βρίσκεται μεταξύ των D και E. Να αποδείξετε ότι οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων  BFE και  CFD εφάπτονται στο σημείο F.

2013 BMO Problem 1 (BUL) 

Σε τρίγωνο ABC, ο παρεγγεγραμμένος κύκλος ω_a απέναντι από την κορυφή A, εφάπτεται της ευθείας AB στο P και της ευθείας AC στο Q, και  παρεγγεγραμμένος κύκλος ω_b απέναντι από την κορυφή B, εφάπτεται της ευθείας BA στο M και της BC στο N. Έστω K η προβολή του C πάνω στην MN, και έστω L η προβολή του C πάνω στην PQ. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο MKLP είναι εγγράψιμο.

2014 BMO Problem 3 (GRE) 

Έστω ABCD τραπέζιο εγγεγραμμένο σε κύκλο Γ με διάμετρο AB. Έστω E το σημείο τομής των διαγωνίων AC,BD.O κύκλος με κέντρο B και ακτίνα BE τέμνει τον Γ στα σημεία K,L όπου το K βρίσκεται στο ίδιο ημιεπίπεδο με το C ως προς την AB.Η κάθετη στην ευθεία BD στο E τέμνει την CD στο M. Αποδείξτε ότι η KM είναι κάθετη στην DL.

by Silouanos Brazitikos 

2015 BMO Problem 2 (CYP)

Έστω ABC ένα σκαληνό τρίγωνο με έκκεντρο I και περιγεγραμμένο κύκλο (ω). Οι ευθείες AI, BI, CI τέμνουν τον (ω) για δεύτερη φορά στα σημεία D, E, F, αντίστοιχα. Οι παράλληλες ευθείες από το I προς τις πλευρές BC, AC, AB τέμνουν τις ευθείες EF, DF, DE στα σημεία K, L, M, αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι τα σημεία K, L, M είναι συνευθειακά.

by Theoklitos Paragyiou

2016 BMO Problem 2 (GRE) 

Έστω ABCD ένα εγγράψιμο τετράπλευρο με AB<CD. Οι διαγώνιοί του τέμνονται στο σημείο F και οι ευθείες AD και BC τέμνονται στο σημείο E. Θεωρούμε τις προβολές K και L του σημείου F στις πλευρές AD και BC αντίστοιχα και τα μέσα M, S και T των EF, CF και DF αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι το δεύτερο κοινό σημείο των περιγεγραμμένων κύκλων των τριγώνων MKT και MLS ανήκει στο τμήμα CD.

by Silouanos Brazitikos

2017 BMO Problem 2 (GRE) 

Έστω ABC οξυγώνιο τρίγωνο με AB<AC και έστω ω ο περιγεγραμμένος κύκλος του. Έστω t_B και t_C οι εφαπτόμενες του κύκλου ω στα σημεία B και C, αντίστοιχα, και  έστω L το σημείο τομής τους. Η ευθεία που διέρχεται από το σημείο B και είναι παράλληλη προς την AC τέμνει την t_C στο σημείο D. Η ευθεία που διέρχεται από το σημείο C και είναι παράλληλη προς την AB τέμνει την t_B στο σημείο E. Ο περιγεγραμμένος κύκλος στο τρίγωνο BDC τέμνει την πλευρά AC σε σημείο T, με το T να βρίσκεται ανάμεσα στα A και C. Ο περιγεγραμμένος κύκλος στο τρίγωνο BEC τέμνει την ευθεία AB σε σημείο S, με το B να βρίσκεται ανάμεσα στα A και S. Να αποδείξετε ότι οι ευθείες  ST, BC  και  AL  συντρέχουν.

by Evangelos Psychas and Silouanos Brazitikos