JBMO Shortlist 2009- 47p GR

ασκήσεις γεωμετρίας από Shortlist Βαλκανιάδες Νέων (Junior Balkan Mathematical Olympiad Shortlist)




Οι υπόλοιπες χρονιές ανεβαίνουν πλέον μόνο στα Αγγλικά εδώ

Junior Balkan Mathematical Olympiad Shortlist (JBMO)
 Βαλκανιάδα Νέων Shortlist
2009-2016

εκφωνήσεις από www.mathematica.gr

Δίνεται παραλληλόγραμμο ${ABCD}$ με ${AC>BD}$ και ${O}$ το σημείο τομής των ${AC}$ και ${BD}$. Κύκλος με κέντρο ${O}$ και ακτίνα ${OA}$ τέμνει τις προεκτάσεις των ${AD}$ και ${AB}$ στα σημεία ${G}$ και ${L}$ αντίστοιχα. Έστω ${Z}$ το σημείο τομής των ${BD}$ και ${GL}$. Να δείξετε ότι $\angle ZCA={{90}^{{}^\circ }}$.

Δίνεται ορθογώνιο τραπέζιο ${ABCD \left(AB\parallel CD\right)}$ και η γωνία $\angle ABC={{75}^{{}^\circ }}$. Το σημείο ${H}$ είναι το ίχνος της κάθετης από το σημείο ${A}$ προς την ${BC}$. Αν ${BH=DC}$ και ${AD+AH=8}$, να βρεθεί το εμβαδόν του ${ABCD}$.

Δίνεται παραλληλόγραμμο ${ABCD}$ με αμβλεία γωνία $\angle ABC$. Το τρίγωνο ${CD'A'}$ προκύπτει μετά από περιστροφή του τριγώνου ${ACD}$ γύρω από το σημείο ${C}$ έτσι, ώστε τα σημεία ${B, C}$ και ${D'}$ να είναι συνευθειακά. Η προέκταση της διαμέσου του τριγώνου ${CD'A'}$ που περνά από το σημείο ${D'}$ τέμνει την ευθεία ${BD}$ στο σημείο ${P}$. Να αποδείξετε ότι η ${PC}$ είναι η διχοτόμος της γωνίας $\angle BP{D}'$.

Έστω ${ABCDE}$ ένα κυρτό πεντάγωνο τέτοιο, ώστε ${AB+CD=BC+DE}$ και ${k}$ ένα ημικύκλιο με κέντρο στην πλευρά ${AE}$ που εφάπτεται στις πλευρές ${AB, BC, CD}$ και ${DE}$ στα σημεία ${P, Q, R}$ και ${S}$ (διαφορετικά από τις κορυφές του πενταγώνου) αντίστοιχα. Δείξτε ότι οι ευθείες ${PS}$ και ${AE}$ είναι παράλληλες.

Έστω ${A, B, C}$ και ${O}$ τέσσερα σημεία στο επίπεδο τέτοια, ώστε $\angle ABC>{{90}^{{}^\circ }}$ και ${OA=OB=OC}$. Ορίζουμε σημείο ${D\in AB}$ και ευθεία ${l}$ έτσι, ώστε ${D\in l, AC\perp DC}$ και ${l\perp AO}$. Η ευθεία ${l}$ τέμνει την ${AC}$ στο σημείο ${E}$ και τον περιγεγραμμένο στο τρίγωνο ${ABC}$ κύκλο στο σημείο ${F}$. Να αποδείξετε ότι οι περιγεγραμμένοι στα τρίγωνα ${BEF}$ και ${CFD}$ κύκλοι, εφάπτονται στο σημείο ${F}$.

Θεωρούμε τρίγωνο ${ABC}$ με ${\angle ACB=90^{\circ}.}$ Έστω ${F}$ το ίχνος του ύψους από το ${C.}$ Ο κύκλος ${\omega}$ εφάπτεται στο ευθύγραμμο τμήμα ${FB}$ στο σημείο ${P,}$ στο ύψος ${CF}$ στο σημείο ${Q}$ και στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου ${ABC}$ στο σημείο ${R.}$ Να αποδείξετε ότι τα σημεία ${A,Q,R}$ είναι συνευθειακά και ${AP=AC.}$

Θεωρούμε τρίγωνο ${ABC}$ και έστω ${M}$ το μέσο της πλευράς ${BC.}$ Υποθέτουμε ότι ${\angle MAC=\angle ABC}$ και ${\angle BAM=105^{\circ}.}$ Να βρείτε το μέτρο της γωνίας ${\angle ABC.}$

Έστω ${ABC}$ οξυγώνιο τρίγωνο. Ένας κύκλος ${\omega_1(O_1,R_1)}$ περνάει από τα σημεία ${B}$ και ${C}$ και τέμνει τις πλευρές ${AB}$ και ${AC}$ στα σημεία ${D}$ και ${E,}$ αντίστοιχα. Έστω ${\omega_2(O_2,R_2)}$ ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου ${ADE.}$ Να αποδείξετε ότι το ${O_1O_2}$ είναι ίσο με την ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ${ABC.}$

Έστω ${AL}$ και ${BK}$ οι διχοτόμοι του μη ισοσκελούς τριγώνου ${ABC}$ (τα ${L,K}$ βρίσκονται επί των ${BC, AC}$ αντίστοιχα). Η μεσοκάθετος του ${BK}$ τέμνει την ευθεία ${AL}$ στο σημείο ${M}$. Το σημείο ${N}$ βρίσκεται πάνω στην ευθεία ${BK}$ έτσι ώστε η ${LN}$ να είναι παράλληλη στην ${MK}$. Να αποδείξετε ότι ${LN=NA}$.

Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο $\vartriangle ABC\left( AB=AC \right)$. Στην προέκταση της πλευράς του ${CA}$ θεωρούμε σημείο ${D}$ τέτοιο, ώστε ${AD<AC}$. Η μεσοκάθετος του ευθύγραμμου τμήματος ${BD}$ τέμνει την εσωτερική και την εξωτερική διχοτόμο της γωνίας ${\angle{A}}$ στα σημεία ${E}$ και ${Z}$, αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι τα σημεία ${A, E, D, Z}$ είναι ομοκυκλικά.

Δίνεται τρίγωνο $\vartriangle ABC$ και ${AD, BF, CE}$ τα ύψη του. Μία ευθεία, η οποία περνά από το σημείο ${D}$ και είναι παράλληλη προς την ${AB}$, τέμνει την ευθεία ${EF}$ στο σημείο ${G}$. Αν ${H}$ είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου $\vartriangle ABC$, να βρεθεί το μέτρο της γωνίας ${\angle{CGH}}$.

Δίνεται τρίγωνο $\vartriangle ABC$, ${BL}$ η διχοτόμος της γωνίας ${\angle{ABC}}$, ${AH}$ το ύψος του τριγώνου $\vartriangle ABC$ και ${M}$ το μέσον της πλευράς ${AB}$ ${\left(L\in AC, H\in BC, M\in AB\right)}$. Δίνεται επίσης ότι τα μέσα των ευθύγραμμων τμημάτων ${BL}$ και ${MH}$ συμπίπτουν. Να υπολογίσετε τα μέτρα των γωνιών του τριγώνου $\vartriangle ABC$.

Δίνεται τρίγωνο $\vartriangle ABC$ και έστω ${D}$ σημείο πάνω στην πλευρά του ${BC}$. Τα περίκεντρα των τριγώνων $\vartriangle ADC$ και $\vartriangle BAD$ είναι τα ${O_1}$ και ${O_2}$, αντίστοιχα, και ${O_1O_2\parallel AB}$. Το ορθόκεντρο του τριγώνου $\vartriangle ADC$ είναι το σημείο ${H}$ και ${AH=O_1O_2}$. Αν ${\angle C:\angle B=3:2}$, να υπολογίσετε τα μέτρα των γωνιών του τριγώνου $\vartriangle ABC.$

Δίνεται τετράγωνο ${ABCD}$ και ισόπλευρο τρίγωνο $\vartriangle ABE$ (${E}$ σημείο στο εσωτερικό του τετραγώνου ${ABCD}$). Έστω ${M}$ σημείο στο εσωτερικό του τριγώνου $\vartriangle ABE$ τέτοιο, ώστε ${MB=\sqrt{2}, MC=\sqrt{6}, MD=\sqrt{5}}$ και ${ME=\sqrt{3}}$. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τετραγώνου ${ABCD}$.

Έστω ${ABCD}$ κυρτό τετράπλευρο και ${E, F}$ σημεία πάνω στις πλευρές του ${AB, CD}$ αντίστοιχα, ώστε ${AB:AE=CD:DF=n}$. Αν ${S}$ είναι το εμβαδόν του τετραπλεύρου ${AEFD}$, να δειχθεί ότι      ${S\leq\frac{AB\cdot CD+n(n-1)AD^2+nDA\cdot BC}{2n^2}}$
Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο $\vartriangle ABC$ και ${P}$ σημείο του περιγεγραμμένου στο τρίγωνο $\vartriangle ABC$ κύκλου, διαφορετικό από τα ${A, B}$ και ${C}$. Οι ευθείες που διέρχονται από το ${P}$ και είναι παράλληλες προς τις ${BC, CA}$ και ${AB}$ τέμνουν τις ευθείες ${CA, AB}$ και ${BC}$ στα σημεία ${M, N}$ και ${Q}$, αντίστοιχα. Να δείξετε ότι τα σημεία ${M, N}$ και ${Q}$ είναι συνευθειακά.

Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο $\vartriangle ABC\left( AB=AC \right)$. Κύκλος ${c\left(K, KC\right)}$ εφάπτεται στην ευθεία ${AC}$ στο σημείο ${C}$ και τέμνει ξανά το ευθύγραμμο τμήμα ${BC}$ σε εσωτερικό σημείο του ${H}$. Να δείξετε ότι ${HK\perp AB}$.

Δίνεται κύκλος με κέντρο ${O}$ και έστω ${AB, CD}$ δύο χορδές του τέτοιες, ώστε να τέμνονται κάθετα στο σημείο ${E}$. Ονομάζουμε ${M, N}$ τα μέσα των ${AC, BD}$, αντίστοιχα. Αν ${MN\perp OE}$, να δείξετε ότι ${AD\parallel BC}$.

Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο $\vartriangle ABC$ και τα σημεία ${O, H}$ το περίκεντρο και το ορθόκεντρο του τριγώνου $\vartriangle ABC$, αντίστοιχα. Το ${A'}$ είναι το σημείο τομής της διχοτόμου της γωνίας ${\angle BAC}$ με τον περιγεγραμμένο στο τρίγωνο $\vartriangle ABC$ κύκλο. Αν ${A'H=AH}$, να βρεθεί το μέτρο της γωνίας ${\angle BAC}$.

Δίνονται οι κύκλοι ${\left(k_1\right)}$ και ${\left(k_2\right)}$, οι οποίοι τέμνονται στα σημεία ${A}$ και ${B}$, και έστω ${\left(t\right)}$ μία κοινή εφαπτομένη των ${\left(k_1\right)}$ και ${\left(k_2\right)}$ στα σημεία τους ${M}$ και ${N}$, αντίστοιχα. Αν ${\left(t\right)\perp AM}$ και ${MN=2AM}$, να υπολογίσετε το μέτρο της γωνίας ${\angle{NMB}}$.

Έστω ${O_1}$ ένα εξωτερικό σημείο του κύκλου ${c\left(O, R\right)}$ και έστω ${O_1N, O_1D}$ τα εφαπτόμενα τμήματα από το ${O_1}$ προς τον κύκλο ${\left(c\right)}$. Στο ευθύγραμμο τμήμα ${O_1N}$ θεωρούμε σημείο ${B}$ τέτοιο, ώστε ${BN=R}$. Από το ${B}$ φέρουμε παράλληλη προς την ${ON}$, η οποία τέμνει την ${O_1D}$ στο ${C}$. Το ${A}$ είναι σήμειο πάνω στην ${O_1D}$, διαφορετικό από το ${C}$, για το οποίο ισχύει ${BC=BA=a}$. Αν ${c'\left(K, r\right)}$ είναι ο εγγεγραμμένος στο τρίγωνο $\vartriangle {{O}_{1}}AB$ κύκλος, να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου $\vartriangle ABC$ συναρτήσει των ${a, R}$ και ${r}$.

Δίνεται μοναδιαίο τετράγωνο ${MNPQ}$ και έστω ${A, B, C, D}$ σημεία στις πλευρές του ${MN, NP, PQ, QM}$, αντίστοιχα τέτοια, ώστε ${AC\cdot BD=\dfrac{5}{4}}$. Να εξετάσετε κατά πόσο το σύνολο ${\left\{AB, BC, CD, DA\right\}}$ μπορεί να διαμεριστεί σε δύο υποσύνολα ${S_1, S_2}$ με δύο στοιχεία το κάθε ένα από αυτά τέτοια, ώστε κάθε ένα από τα αθροίσματα των στοιχείων των ${S_1}$ και ${S_2}$ να είναι θετικοί ακέραιοι.

Έστω ${AB}$ μια διάμετρος ενός κύκλου ${\omega}$ κέντρου ${O}$ και ${OC}$ μια ακτίνα του ${\omega}$ κάθετη στην ${AB.}$ Έστω ${M}$ σημείο του ευθυγράμμου τμήματος ${OC.}$ Έστω ${N}$ το δεύτερο σημείο τομής της ευθείας ${AM}$ με τον ${\omega}$ και ${P}$ το σημείο τομής των εφαπτομένων του ${\omega}$ στα σημεία ${N}$ και ${B.}$ Να δείξετε ότι τα σημεία ${M,O,P,N}$ είναι ομοκυκλικά.

Οι κύκλοι ${\omega_1}$ και ${\omega_2}$ εφάπτονται εξωτερικά στο σημείο ${M}$ και εσωτερικά στον κύκλο ${\omega_3}$ στα σημεία ${K}$ και ${L,}$ αντίστοιχα. Έστω ${A}$ και ${B}$ τα σημεία στα οποία η κοινή εφαπτομένη στο ${M}$ των ${\omega_1}$ και ${\omega_2}$ τέμνει τον ${\omega_3.}$ Να δείξετε ότι αν ${\angle KAB=\angle LAB}$ τότε το ευθύγραμμο τμήμα ${AB}$ είναι διάμετρος του ${\omega_3.}$
byTheoklitos Paragyiou
2013 JBMO Shortlist G3 problem 2 (FYROM) 
Έστω ${ABC}$ οξυγώνιο τρίγωνο με ${AB<AC}$ και ${O}$ το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του ${\omega.}$ Έστω ${D}$ σημείο πάνω στο ευθύγραμμο τμήμα ${BC}$ τέτοιο ώστε ${\angle BAD=\angle CAO.}$ Έστω ${E}$ το δεύτερο σημείο τομής του κύκλου ${\omega}$ και της ευθείας ${AD.}$ Αν ${M, N}$ και ${P}$ είναι τα μέσα των ευθυγράμμων τμημάτων ${BE, OD}$ και ${AC,}$ αντίστοιχα, να δείξετε ότι τα σημεία ${M, N}$ και ${P}$ είναι συνευθειακά.

by Stefan Lozanovski
Έστω ${I}$ το έκκεντρο  και ${AB}$ η μικρότερη πλευρά του τριγώνου ${ABC.}$ Ο κύκλος κέντρου ${I}$ που περνά από το ${C}$ τέμνει την ημιευθεία ${AB}$ στο σημείο ${P}$ και την ημιευθεία ${BA}$ στο σημείο ${Q.}$ Έστω ${D}$ το σημείο στο οποίο εφάπτεται στη ${BC}$ ο παρεγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου ${ABC}$ που αντιστοιχεί στην κορυφή ${A}$ και ${E}$ το συμμετρικό του ${C}$ ως προς το ${D.}$ Να δείξετε ότι οι ευθείες ${PE}$ και ${CQ}$ είναι μεταξύ τους κάθετες.

Ένας κύκλος περνά από το μέσο ${M}$ της πλευράς ${BC}$ και την κορυφή ${A}$ ενός τριγώνου ${ABC}$ και τέμνει τις πλευρές ${AB}$ και ${AC}$ για δεύτερη φορά στα σημεία ${P}$ και ${Q,}$ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι αν $\angle BAC={{60}^{{}^\circ }}$ τότε ${AP+AQ+PQ<AB+AC+\frac{1}{2}BC.}$

Έστω ${P}$ και ${Q}$ τα μέσα των πλευρών ${BC}$ και ${CD}$ ενός ορθογωνίου ${ABCD,}$ αντίστοιχα. Έστω ${K}$ και ${M}$ τα σημεία τομής της ευθείας ${PD}$ με τις  ${QB}$ και ${QA,}$ αντίστοιχα, και  ${N}$ το σημείο τομής των ευθειών ${PA}$ και ${QB.}$ Έστω ${X,Y,Z}$ τα μέσα των ευθυγράμμων τμημάτων ${AN,KN,AM,}$ αντίστοιχα. Έστω ${l_1}$ η ευθεία που περνά από το ${X}$ και είναι κάθετη στην ${MK,}$ ${l_2}$ η ευθεία που περνά από το ${Y}$ και είναι κάθετη στην ${AM}$ και ${l_3}$ η ευθεία που περνά από το ${Z}$ και είναι κάθετη στην ${KN.}$ Να δείξετε ότι   οι ${l_1,l_2,l_3}$ συντρέχουν.

by Theoklitos Paragyiou
2014 JBMO Shortlist G1   (also)
Έστω τρίγωνο $\vartriangle ABC$ με ${\angle{B}=\angle{C}=40^{\circ}}$. Η διχοτόμος της γωνίας ${\angle{B}}$ τέμνει την ${AC}$ στο σημείο ${D}$. Να αποδείξετε ότι $BD+DA=BC$.


Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο $\vartriangle ABC$ με $AB<AC<BC$ και έστω ${c\left(O, R\right)}$ ο περιγεγραμμένος στο τρίγωνο αυτό κύκλος. Έστω επίσης ${D}$ και ${E}$ τα διαμετρικά αντίθετα σημεία των ${B}$ και ${C}$, αντίστοιχα. Ο κύκλος ${c_1\left(A, \overline{AE}\right)}$ τέμνει την ${\overline{AC}}$ στο σημείο ${K}$ και ο κύκλος ${{c}_{2}}\left( A,\overline{AD} \right)$ τέμνει την ${BA}$ στο σημείο ${L}$ (το ${A}$ βρίσκεται ανάμεσα στα ${B}$ και ${L}$). Να αποδείξετε ότι το σημείο τομής των ευθειών ${EK}$ και ${DL}$ βρίσκεται πάνω στον κύκλο ${c}$.

by Evangelos Psychas


Θεωρούμε ένα οξυγώνιο τρίγωνο $\vartriangle ABC$ με εμβαδόν ${S}$. Έστω ${CD \perp  AB \; (D\in AB), DM \perp AC \;   (M\in AC)}$ και ${DN \perp BC \;   (N\in BC)}$. Αν ${H_1}$ και ${H_2}$ είναι τα ορθόκεντρα των τριγώνων $\vartriangle MNC$ και $\vartriangle MND$, αντίστοιχα, να βρείτε το εμβαδόν του τετραπλεύρου ${AH_1BH_2}$ συναρτήσει του ${S}$.

Δίνεται τρίγωνο $\vartriangle ABC$ με $AB\ne BC$. Έστω ${M}$ το μέσον του ${\overline{BC}}$, ${H}$ το ορθόκεντρο του $\vartriangle ABC$, ${O_1}$ το μέσον του ${\overline{AH}}$ και ${O_2}$ το περίκεντρο του $\vartriangle BCH$. Να αποδείξετε ότι το ${O_1AMO_2}$ είναι παραλληλόγραμμο.




Δίνεται τρίγωνο $\vartriangle ABC$ με $AB\ne BC$ και έστω ${BD}$ η εσωτερική διχοτόμος της γωνίας ${\angle{ABC},\;\;\left(D\in AC\right)}$. Έστω, επίσης, ${M}$ το μέσον του τόξου ${\overset{\frown}{AC}}$ που περιέχει το σημείο ${B}$. Ο περιγεγραμμένος στο τρίγωνο $\vartriangle BDM$ κύκλος τέμνει το ευθύγραμμο τμήμα ${AB}$ στο σημείο ${K\neq B}$ και έστω ${J}$ το συμμετρικό του ${A}$ ως προς το σημείο ${K}$. Αν ${DJ\cap AM=\left\{O\right\}}$, να αποδείξετε ότι τα σημεία ${J, B, M, O}$ ανήκουν στον ίδιο κύκλο.




Έστω ${ABCD}$ ένα τετράπλευρο με ${AB\nparallel CD}$ και έστω ${O}$ το σημείο τομής των διαγωνίων του. Ονομάζουμε ${H_1}$ και ${H_2}$ τα ορθόκεντρα των τριγώνων $\vartriangle OAB$ και $\vartriangle OCD$, αντίστοιχα. Αν ${M}$ και ${N}$ είναι τα μέσα των $AB$ και $CD$, αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι οι ευθείες ${MN}$ και ${H_1H_2}$ είναι παράλληλες αν και μόνον αν $AC=BD$.
 
Το τρίγωνο $\vartriangle ABC$ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο και έστω ${t}$ η εφαπτομένη του κύκλου στο ${C}$. Η ευθεία ${p}$, που είναι παράλληλη προς την ${t}$, τέμνει τις ευθείες ${BC}$ και ${AC}$ στα σημεία ${D}$ και ${E}$, αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι τα σημεία ${A, B, D}$ και ${E}$ είναι ομοκυκλικά.

Το σημείο ${P}$ βρίσκεται εκτός του κύκλου ${\Omega}$. Από το σημείο ${P}$ φέρουμε εφαπτόμενες ευθείες προς τον κύκλο ${\Omega}$, οι οποίες τον συναντούν στα σημεία ${A}$ και ${B}$. Η διάμεσος ${AM \left(M\in BP\right)}$ του τριγώνου $\vartriangle APB$ τέμνει τον κύκλο ${\Omega}$ στο σημείο ${C}$ και η ευθεία ${PC}$ τέμνει ξανά τον κύκλο ${\Omega}$ στο σημείο ${D}$. Να αποδείξετε ότι οι ευθείες ${AD}$ και ${BP}$ είναι παράλληλες μεταξύ τους. 

Έστω ${c\equiv c\left(O, R\right)}$ κύκλος με κέντρο το ${O}$ και ακτίνα ${R}$ και δύο σημεία του ${A, B}$, τα οποία δεν ανήκουν στην ίδια διάμετρο. Έστω ${c_1}$ ο περιγεγραμμένος στο τρίγωνο $\vartriangle AOB$ κύκλος και ${c_2}$ ο περιγεγραμμένος στο τρίγωνο $\vartriangle AOC$ κύκλος. Η διχοτόμος της γωνίας ${\angle{ABO}}$ τέμνει τον κύκλο ${c}$ στο σημείο ${C}$, τον κύκλο ${c_1}$ στο σημείο ${K}$ και τον κύκλο ${c_2}$ στο σημείο ${L}$. Να αποδείξετε ότι το σημείο ${K}$ είναι το περίκεντρο του τριγώνου $\vartriangle AOC$ και το σημείο ${L}$ είναι το έγκεντρο του τριγώνου $\vartriangle AOB$.

by Evangelos Psychas
Έστω $\vartriangle ABC$ ένα οξυγώνιο τρίγωνο. Οι ευθείες ${l_1, l_2}$ είναι κάθετες στην ${AB}$ στα σημεία ${A}$ και ${B}$, αντίστοιχα. Οι κάθετες ευθείες από το μέσο ${M}$ του ${AB}$ προς τις πλευρές του τριγώνου ${AC}$ και ${BC}$ τέμνουν τις ευθείες ${l_1}$ και ${l_2}$ στα σημεία ${E}$ και ${F}$, αντίστοιχα. Αν ${D}$ είναι το σημείο τομής των ${EF}$ και ${MC}$, να αποδείξετε ότι ${\angle{ADB}=\angle{EMF}}$. 
by Theoklitos Paragyiou
Έστω $\vartriangle ABC$ ένα οξυγώνιο τρίγωνο με ${AB\neq AC}$. Ο εγγεγραμμένος στο τρίγωνο $\vartriangle ABC$ κύκλος ${\omega}$ συναντά τις πλευρές ${BC, CA}$ και ${AB}$ στα σημεία ${D, E}$ και ${F}$, αντίστοιχα. Η κάθετη ευθεία στην ${BC}$ στο σημείο ${C}$ τέμνει την ${EF}$ στο σημείο ${M}$ και η κάθετη ευθεία στην ${BC}$ στο σημείο ${B}$ τέμνει την ${EF}$ στο σημείο ${N}$. Η ευθεία ${DM}$ τέμνει τον κύκλο ${\omega}$ ξανά στο σημείο ${P}$ και η ευθεία ${DN}$ τέμνει τον κύκλο ${\omega}$ ξανά στο σημείο ${Q}$. Να αποδείξετε ότι ${DP=DQ}$. 

Δίνεται ένα οξυγώνιο τρίγωνο ${ABC}$ με περίκεντρο ${O}$ και έστω ${D,E,F}$ σημεία των πλευρών ${BC,CA,AB}$ αντίστοιχα. Ο κύκλος ${(c_1)}$ με ακτίνα ${FA}$ και κέντρο ${F}$, τέμνει την ${OA}$ στο ${A'}$ και τον περιγεγραμμένο κύκλο ${(c)}$ του ${ABC}$ στο ${K}$.  Όμοια ορίζονται κύκλοι ${(c_2)}$, ${(c_3)}$ και τα σημεία ${B',C'}$ και ${L}$ και ${M}$ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι τα τετράπλευρα ${BKFA', CLDB', AMEC'}$ είναι όλα εγγράψιμα και οι περιγεγραμμένοι κύκλοι τους περνούν από κοινό σημείο.
by Evangelos Psychas
Έστω ${ABC}$ τρίγωνο με περίκεντρο ${O}$ και $\angle BAC={{60}^{{}^\circ }}$. Τα ${D,E}$ είναι τα ίχνη των καθέτων από το ${A}$ στις εξωτερικές διχοτόμους των $\angle ABC$ και $\angle ACB$. Να αποδείξετε ότι οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων ${ADE}$ και ${BOC}$ εφάπτονται.

Δίνεται ένα περιγράψιμο τραπέζιο ${ABCD}$ με ${AB\parallel CD}$ και ${AB>CD}$. Ο εγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου ${ABC}$ εφάπτεται των πλευρών ${AB}$ και ${AC}$ στα σημεία ${M}$ και ${N}$, αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι το έκκεντρο του τραπεζίου ${ABCD}$ ανήκει στην ευθεία ${MN}$.

Έστω τρίγωνο ${ABC}$ του οποίου η μικρότερη πλευρά είναι η ${BC}$. Θεωρούμε ένα μεταβλητό σημείο ${P}$ στην πλευρά ${BC}$ και έστω ${D}$ και ${E}$ σημεία στις ${AB}$ και ${AC}$ ώστε ${BD=BP}$ και ${CP=CE}$. Να αποδείξετε ότι καθώς το ${P}$ κινείται στη ${BC}$, οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων ${ADE}$ περνούν από σταθερό σημείο.

Έστω ${ABC}$ ένα οξυγώνιο τρίγωνο με ορθόκεντρο ${H}$ και περίκεντρο ${O}$. Υποθέτουμε ότι το περίκεντρο ${X}$ του ${BHC}$ ανήκει στον περιγεγραμμένο κύκλο του ${ABC}$. Ονομάζουμε ${O'}$ το συμμετρικό του ${O}$ ως προς το ${X}$ και έστω ότι οι ευθείες ${XH}$ και ${O'A}$ τέμνονται στο ${K}$. Αν ${L,M,N}$ είναι τα μέσα των ${XB, XC, BC}$ να αποδείξετε ότι τα σημεία ${K,L,M,N}$ είναι ομοκυκλικά.

Σε οξυγώνιο τρίγωνο ${ABC}$ κατασκευάζουμε εξωτερικά όμοια ορθογώνια τρίγωνα με $\angle BAD=\angle CAE$ και ορθογώνια στα ${E}$ και ${D}$. Θεωρούμε τα ίχνη των υψών ${A_1, B_1, C_1}$ και ${K,L}$ τα μέσα των ${BC_1, CB_1}$ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι τα περίκεντρα των τριγώνων ${AKL, A_1B_1C_1, DEA_1}$ είναι συνευθειακά.

Έστω ${AB}$ μία χορδή κύκλου ${(c)}$ κέντρου ${O}$, και ${K}$ ένα σημείο του τμήματος ${AB}$ ώστε ${AK<BK}$. Δύο κύκλοι περνούν από το ${K}$, εφάπτονται εσωτερικά του ${(c)}$ στα ${A}$ και ${B}$, αντίστοιχα, και τέμνονται για δεύτερη φορά στο ${L}$. Αν ${P}$ είναι ένα από τα σημεία τομής της ${KL}$ με τον ${(c)}$ και οι ${AB}$ και ${LO}$ τέμνονται στο ${M}$, να αποδείξετε ότι η ${MP}$ εφάπτεται του κύκλου ${(c)}$.
by Theoklitos Paragyiou
Δίνεται ${ABC}$ οξυγώνιο τρίγωνο τέτοιο ώστε ${AB \neq AC}$ και ${\Gamma}$ ο περιγεγραμμένος κύκλος του με κέντρο ${O}$. Έστω ${M}$ το μέσο του ${BC}$ και ${D}$ σημείο του ${\Gamma}$ τέτοιο ώστε ${AD \perp BC}$. Θεωρούμε ${T}$ ένα σημείο τέτοιο ώστε το ${BDCT}$ να είναι παραλληλόγραμμο και ${Q}$ ένα σημείο στο ημιεπίπεδο που ορίζεται από την ${BC}$ και περιέχει το ${A}$ τέτοιο ώστε ${ \angle BQM = \angle BCA}$ και ${ \angle CQM = \angle CBA}$.Αν η ευθεία ${AO}$ τέμνει τον ${\Gamma}$ στο ${E}$ (${E \neq A}$) και ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου ${ETQ}$ τέμνει τον ${\Gamma}$ στο σημείο ${X \neq E}$, να δείξετε ότι τα σημεία ${A,M}$ και ${X}$ είναι συνευθειακά.



Οι υπόλοιπες χρονιές ανεβαίνουν πλέον μόνο στα Αγγλικά εδώ


Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου