Τετάρτη, 19 Ιουλίου 2017

1959 IMO Problem 5 (ROM)

proposed by Cezar Cosnita, Romania
[solved, alternate solutions are welcome]


An arbitrary point M is selected in the interior of the segment AB. The squares AMCD and MBEF are constructed on the same side of AB; with the segments AM and MB as their respective bases. The circles circumscribed about these squares, with centers P and Q; intersect at M and also at another point N: Let N' denote the point of intersection of the straight lines AF and BC:
(a) Prove that the points N and N' coincide.
(b) Prove that the straight lines MN pass through a fixed point S independent of the choice of M.
(c) Find the locus of the midpoints of the segments PQ as M varies between A and B.

solved in aops here


Θεωρούμε σημείο Μ εσωτερικό στο ευθυγράμμο τμήμα ΑΒ . Τα τετράγωνα AMCD και MBEF κατασκευάζονται προς το ίδιο μέρος του τμήματος AB με τα τμήματα ΑΜ και ΜΒ ως βάσεις τους, αντιστοίχως. Οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των δυο τετραγώνων με κέντρα P και Q, αντίστοιχα, τέμνονται εκτός του σημείου M και στο  σημείο Ν. Έστω Ν΄ το σημείο τομής των ευθειών AF και BC.
(a) Να αποδείξετε οτι τα σημεία Ν και Ν΄ συμπίπτουν.
(b) Να αποδείξετε οτι οι ευθείες MN διέρχονται από ένα σταθερό σημείο S ανεξάρτητο από την επιλογή του  M.
(c) Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των μέσων των τμημάτων PQ, καθώς το σημείο M μεταβάλλεται στο ΑB.
 solved in pdf here
my solution

[english / greek]
(a)





 
(b)
















 
(c)


 

  




(a)  solution by Giannopoulos Theodosis

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου